113學年鷺江國中第2次段考數學 第15題 詳解

答案(1) $x(x-2)$ (2) $(3x+4)(2x-1)$ (3) $(2x+5)(x-2)$ (4) $(5x+2)(5x-12)$ (5) $(x+21)(x-3)$ (6) $(2x-9)(x+2)$ (7) $(3x-4)(4x-3)$ (8) $(x+27)(x-23)$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   ①②③先提公因式

   ① $x^2-2x$ 兩項都有 $x$，提出得 $x(x-2)$。② 先看出 $4x-2=2(2x-1)$，跟前一項的括號 $(2x-1)$ 相同，所以 $(3x+2)(2x-1)+4x-2=(3x+2)(2x-1)+2(2x-1)=(2x-1)\left[(3x+2)+2\right]=(2x-1)(3x+4)$。③ 前括號 $2x^2+5x=x(2x+5)$，後括號 $4x+10=2(2x+5)$，所以原式 $=x(2x+5)-2(2x+5)=(2x+5)(x-2)$。
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   ④湊成平方差

   $25(x-1)^2$ 可以看成 $\left[5(x-1)\right]^2$，而 $49=7^2$，整個式子是「平方減平方」。套公式 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，其中 $A=5(x-1)=5x-5$、$B=7$：$(5x-5+7)(5x-5-7)=(5x+2)(5x-12)$。
3. 3

   ⑤⑥十字交乘

   ⑤ $x^2+18x-63$ 首項係數是 $1$，只要找兩數相乘為 $-63$、相加為 $18$：$21\times(-3)=-63$、$21+(-3)=18$，所以 $=(x+21)(x-3)$。⑥ $2x^2-5x-18$ 首項拆成 $2x$ 與 $x$，末項拆成 $-9$ 與 $2$，交叉相乘檢查：$2x\times 2+x\times(-9)=4x-9x=-5x$，正好是中間項，所以 $=(2x-9)(x+2)$。
4. 4

   ⑦首項末項都要拆

   $12x^2-25x+12$：常數項 $+12$ 為正、中間項 $-25x$ 為負，表示兩個括號的常數都要是負的。首項 $12$ 試拆成 $3\times 4$，末項 $12$ 試拆成 $(-4)\times(-3)$，交叉相乘檢查：$3x\times(-3)+4x\times(-4)=-9x-16x=-25x$，符合。所以 $12x^2-25x+12=(3x-4)(4x-3)$。
5. 5

   ⑧先把括號拆開再湊平方

   $x^2+4x-(625-4)=x^2+4x-625+4$。把 $+4$ 跟前面兩項湊在一起：$(x^2+4x+4)-625=(x+2)^2-25^2$，這又是平方減平方，套公式得 $(x+2+25)(x+2-25)=(x+27)(x-23)$。用十字交乘也做得到：$x^2+4x-621$，找兩數乘積 $-621$、和為 $4$，就是 $27$ 與 $-23$。
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   整理八個答案

   ① $x(x-2)$；② $(3x+4)(2x-1)$；③ $(2x+5)(x-2)$；④ $(5x+2)(5x-12)$；⑤ $(x+21)(x-3)$；⑥ $(2x-9)(x+2)$；⑦ $(3x-4)(4x-3)$；⑧ $(x+27)(x-23)$。

關鍵觀念：#因式分解 #十字交乘法 #平方差公式

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