113學年鷺江國中第2次段考數學 第14題 詳解

答案(1) $\sqrt{34}$ (2) $\sqrt{61}$ (3) $9$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   ①兩股求斜邊

   第一個圖的直角記號在左下角，所以左邊那條 $3$ 和底邊那條 $5$ 是兩股，$x$ 標在直角的對邊（從左上頂點連到右下頂點），是斜邊。由畢氏定理 $x^2=3^2+5^2=9+25=34$，所以 $x=\sqrt{34}$。$34=2\times 17$ 沒有平方因數，已是最簡根式。
2. 2

   ②先把底邊算出來

   第二個圖的直角記號在右下角，所以右邊那條垂直邊 $5$ 和底邊是兩股，而從左下頂點拉到最上方頂點的那條 $13$ 才是斜邊。設底邊長為 $L$，由畢氏定理 $L^2+5^2=13^2$，得 $L^2=169-25=144$，$L=12$。
3. 3

   ②再用分點求 x

   底邊上的分點距離左下頂點 $6$，底邊全長 $12$，所以這個分點到右下直角頂點的距離是 $12-6=6$。$x$ 是分點連到最上方頂點的線段，它和「分點到右下頂點的 $6$」以及「右邊垂直邊的 $5$」又組成一個直角三角形，直角仍在右下角。所以 $x^2=6^2+5^2=36+25=61$，$x=\sqrt{61}$（$61$ 是質數，已最簡）。
4. 4

   ③先求大三角形的斜邊

   第三個圖的直角記號在右下角，兩股是底邊 $20$ 與右邊垂直邊 $15$，所以斜邊（左下頂點連到右上頂點）長 $\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25$。圖中從右下直角頂點向這條斜邊作垂線，垂足上還有一個直角記號；$x$ 標在垂足到右上頂點的那一小段斜邊上。
5. 5

   ③用兩次畢氏定理解 x

   設垂線長為 $h$，右上頂點到垂足的長度是 $x$，那麼垂足到左下頂點就是 $25-x$。垂線把大三角形切成上下兩個直角三角形，對這兩個各用一次畢氏定理算同一條 $h$：上面的 $h^2=15^2-x^2=225-x^2$；下面的 $h^2=20^2-(25-x)^2=400-(625-50x+x^2)=-225+50x-x^2$。兩式相等：$225-x^2=-225+50x-x^2$，兩邊消去 $-x^2$ 得 $225=-225+50x$，$50x=450$，$x=9$。
6. 6

   整理三個答案

   ① $x=\sqrt{34}$；② $x=\sqrt{61}$；③ $x=9$。

關鍵觀念：#畢氏定理 #直角三角形 #斜邊上的高

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