113學年鷺江國中第2次段考數學 第13題 詳解

答案(1) $6\sqrt{3}$ (2) $\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ (3) $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (4) $5\sqrt{2}+5\sqrt{3}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   ①把平方因數提出來

   化簡整數的根號，就是找出根號內最大的完全平方因數。$108=4\times 27=4\times 9\times 3=36\times 3$，其中 $36=6^2$。所以 $\sqrt{108}=\sqrt{36\times 3}=\sqrt{36}\times\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。剩下的 $3$ 是質數，沒有平方因數，已經最簡。
2. 2

   ②小數先化成分數

   根號裡是小數不能直接開，先化成分數：$0.4=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。接著 $\sqrt{0.4}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，分母有根號要有理化，上下同乘 $\sqrt{5}$：$\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
3. 3

   ③分母是單一根號

   分母只有一個根號，直接上下同乘那個根號即可：$\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{2\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}$。最後別忘了約分，分子分母同除以 $2$，得 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。
4. 4

   ④分母有兩項要乘共軛

   分母 $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ 是兩項，要上下同乘它的共軛 $\sqrt{3}+\sqrt{2}$，才能用平方差把根號消掉：$\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=5\sqrt{3}+5\sqrt{2}$。
5. 5

   整理四個答案

   ① $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$；② $\sqrt{0.4}=\frac{\sqrt{10}}{5}$；③ $\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；④ $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5\sqrt{2}+5\sqrt{3}$。

關鍵觀念：#根式化簡 #分母有理化