113學年鷺江國中第2次段考數學 第12題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把兩個根號合併

   由根式乘法 $\sqrt{2250}\times\sqrt{a}=\sqrt{2250a}$。要讓這個根號的值是整數，根號裡的 $2250a$ 就必須是完全平方數，也就是做質因數分解後，每一個質因數的次數都是偶數。
2. 2

   把 2250 做質因數分解

   $2250=2\times 1125=2\times 3\times 375=2\times 3\times 3\times 125=2\times 3^2\times 5^3$。檢查各質因數的次數：$2$ 是 $1$ 次（奇數）、$3$ 是 $2$ 次（偶數）、$5$ 是 $3$ 次（奇數）。
3. 3

   補上缺的質因數

   奇數次的要各補一個變成偶數次：$2$ 補一個 $2$ 變成 $2^2$，$5$ 補一個 $5$ 變成 $5^4$，$3$ 已經是偶數次不必動。所以最小的 $a=2\times 5=10$。
4. 4

   驗算並下結論

   $2250\times 10=22500=2^2\times 3^2\times 5^4$，$\sqrt{22500}=2\times 3\times 5^2=150$，確實是整數。而且比 $10$ 小的正整數都補不齊 $2$ 和 $5$，所以 $10$ 就是最小值。故選 (D)。

關鍵觀念：#根式化簡 #質因數分解