113學年鷺江國中第2次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   倍式代表可以整除

   「$-3x^2+5x+a$ 為 $x-2$ 的倍式」的意思是：這個多項式除以 $x-2$ 會整除，餘式為 $0$。也就是說它可以寫成 $(x-2)\times(\text{某個多項式})$。令 $x-2=0$ 得 $x=2$，把 $x=2$ 代進去時右邊的 $(x-2)$ 變成 $0$、整個乘積就是 $0$，所以左邊代進去也必須等於 $0$。
2. 2

   把 x 等於 2 代進去

   代入得 $-3\times 2^2+5\times 2+a=0$。先算次方再算乘法：$2^2=4$，所以 $-3\times 4=-12$；另一項 $5\times 2=10$。整理成 $-12+10+a=0$。
3. 3

   解出 a

   $-12+10=-2$，式子變成 $-2+a=0$，兩邊同加 $2$ 得 $a=2$。
4. 4

   代回去驗算

   把 $a=2$ 代回，多項式是 $-3x^2+5x+2=-(3x^2-5x-2)$。用十字交乘分解 $3x^2-5x-2$：首項拆成 $3x$ 與 $x$，末項拆成 $+1$ 與 $-2$，交叉相乘得 $3x\times(-2)+x\times 1=-6x+x=-5x$，符合中間項，所以 $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$。原式 $=-(3x+1)(x-2)$，確實含有因式 $x-2$，驗算通過。故選 (A)。

關鍵觀念：#多項式 #倍式 #因式定理

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