113學年鷺江國中第2次段考數學 第11題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先把能分解的都分解

   要找公因式，三個多項式都得先寫成「乘積」的樣子。$P=6x^2-3x$ 兩項都有 $3x$，提出得 $P=3x(2x-1)$。$R=9x^2-1=(3x)^2-1^2$，套平方差得 $R=(3x+1)(3x-1)$。$Q$ 是兩項相加，還不是乘積，必須先整理。
2. 2

   整理 Q

   觀察 $Q=(3x+1)(4x+2)+(2x+1)(3x-2)$，注意 $4x+2=2(2x+1)$，所以前一項是 $(3x+1)\times 2(2x+1)$。兩項都含有 $(2x+1)$，把它提出來：$Q=(2x+1)\left[2(3x+1)+(3x-2)\right]=(2x+1)(6x+2+3x-2)=(2x+1)\times 9x=9x(2x+1)$。
3. 3

   列出三者的一次因式

   $P=3x(2x-1)$：一次因式有 $x$ 和 $2x-1$。$Q=9x(2x+1)$：一次因式有 $x$ 和 $2x+1$。$R=(3x+1)(3x-1)$：一次因式有 $3x+1$ 和 $3x-1$。（$3x$、$9x$ 前面的數字只是係數，判斷公因式時看的是一次式本身。）
4. 4

   兩兩比對

   $P$ 與 $Q$：兩邊都有一次因式 $x$，所以有一次公因式。$Q$ 與 $R$：$9x$、$2x+1$ 對上 $3x+1$、$3x-1$，沒有任何一式相同。$P$ 與 $R$：$x$、$2x-1$ 對上 $3x+1$、$3x-1$，也沒有相同的。注意 $R$ 的常數項是 $-1$，把 $x=0$ 代入得 $R=-1\ne 0$，所以 $x$（以及 $3x$）並不是 $R$ 的因式。
5. 5

   下結論

   只有 $P$ 與 $Q$ 擁有共同的一次因式 $x$。故選 (A)。

關鍵觀念：#多項式 #公因式 #多項式展開

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