113學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先觀察三個數的共同結構

   三個數都長成「兩個根號相加」的樣子，而且根號內的兩數相加都一樣：$4+6=10$、$3+7=10$、$2+8=10$。三個數的「和」相同，這就暗示我們平方之後會出現同一個 $10$，剩下的差別只在另一項，這樣比大小最省力。
2. 2

   把三個數各自平方

   利用 $(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2=m+n+2\sqrt{mn}$：$a^2=4+6+2\sqrt{4\times 6}=10+2\sqrt{24}$；$b^2=3+7+2\sqrt{3\times 7}=10+2\sqrt{21}$；$c^2=2+8+2\sqrt{2\times 8}=10+2\sqrt{16}=10+2\times 4=18$。
3. 3

   比較根號內的乘積

   三個平方都是 $10$ 再加上 $2\sqrt{mn}$，所以只要比 $mn$ 的大小。$4\times 6=24$、$3\times 7=21$、$2\times 8=16$，因為 $24>21>16$，所以 $2\sqrt{24}>2\sqrt{21}>2\sqrt{16}$，得 $a^2>b^2>c^2$。三個數都是正數，正數的平方越大本身就越大，所以 $a>b>c$，也就是 $c<b<a$。
4. 4

   用近似值驗算並下結論

   再用近似值確認一次：$a=\sqrt{4}+\sqrt{6}=2+2.45=4.45$；$b=\sqrt{3}+\sqrt{7}\approx 1.73+2.65=4.38$；$c=\sqrt{2}+\sqrt{8}\approx 1.41+2.83=4.24$。確實是 $c<b<a$。故選 (B)。

關鍵觀念：#根式 #大小比較