113學年鷺江國中第2次段考數學 第4題 詳解

逐步解析

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   把「兩邊」的可能情況列完

   這題說「任意」，所以不能只舉一個例子就說對，要把所有情況檢查完。直角三角形的三邊分成兩股與一斜邊，「已知三邊中的兩邊」只有兩種可能：第一種是已知兩股，第二種是已知一股與斜邊。只要這兩種都能求出第三邊，敘述就成立。
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   情況一：已知兩股

   設兩股為 $a$、$b$，斜邊為 $c$。由畢氏定理 $a^2+b^2=c^2$，直接開根號得 $c=\sqrt{a^2+b^2}$。因為 $a$、$b$ 都是正的，$a^2+b^2$ 一定是正數，根號一定開得出來。例如 $a=3$、$b=4$，$c=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
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   情況二：已知一股與斜邊

   設已知股 $a$ 與斜邊 $c$，要求另一股 $b$。由 $a^2+b^2=c^2$ 移項得 $b^2=c^2-a^2$，$b=\sqrt{c^2-a^2}$。斜邊是直角的對邊，一定比任一股長，所以 $c>a$，$c^2-a^2>0$，根號同樣開得出來。例如 $c=13$、$a=5$，$b=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
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   下結論

   兩種情況都算得出第三邊，而且沒有第三種可能，所以「任意直角三角形只要知道兩邊就能用畢氏定理求出第三邊」這句話在所有情況下都成立。答案填○。

關鍵觀念：#畢氏定理 #直角三角形

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