113學年鷺江國中第2次段考數學 第3題 詳解

逐步解析

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   公因式的定義是什麼

   一個多項式 $A$，如果它同時是 $B$ 的因式、也是 $C$ 的因式，就稱 $A$ 為 $B$ 與 $C$ 的公因式。「公」這個字的意思就是「兩邊共有」，除此之外沒有任何附加要求。
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   把題目條件並排對照

   題目給了兩個條件：$A$ 為 $B$ 的因式、$A$ 為 $C$ 的因式。把這兩句並排看，就是「$A$ 同時是 $B$ 和 $C$ 的因式」，剛好等於公因式的定義句。舉個具體例子確認：取 $A=x+1$，$B=x^2-1=(x+1)(x-1)$，$C=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$，$x+1$ 兩邊都除得盡，它就是 $B$ 與 $C$ 的公因式。
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   注意題目沒有要求「最高」

   這裡問的只是「公因式」，不是「最高公因式」。所以 $A$ 不必是次數最高的那一個。承上例，除了 $x+1$ 之外，常數 $1$ 也同時是 $B$、$C$ 的因式，它一樣是公因式。只要兩個條件成立，$A$ 不論長什麼樣子都符合公因式的定義，找不到任何反例。
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   下結論

   題目給的兩個條件加起來，就是公因式的定義本身，在所有情況下都成立。所以這個敘述正確，答案填○。

關鍵觀念：#多項式 #因式 #公因式

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