113學年鷺江國中第2次段考數學 第2題 詳解

逐步解析

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   先回到倍式的定義

   兩個多項式 $A$ 與 $B$，如果找得到另一個多項式 $C$ 使得 $A=B\times C$，我們就說 $A$ 是 $B$ 的倍式，同時 $B$ 是 $A$ 的因式。這跟整數的倍數完全同一套：$12=3\times 4$，所以 $12$ 是 $3$ 的倍數、$3$ 是 $12$ 的因數。
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   題目條件正好就是定義

   題目已經直接給了 $A=B\times C$，而且說明 $C$ 是多項式。把這句話對照上一步的定義，一字不差就是「$A$ 是 $B$ 的倍式」。不需要再補任何條件，也不必知道 $B$、$C$ 的次數或係數長什麼樣子。
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   檢查有沒有例外情況

   有人會擔心特殊情況。若 $C$ 只是一個常數，例如 $B=x^2+1$、$C=2$，那 $A=2x^2+2$；常數 $2$ 本身也是多項式（零次多項式），所以 $A$ 依然是 $B$ 乘上一個多項式，依然是 $B$ 的倍式。若 $C$ 的次數很高，例如 $C=x^3$，$A=x^5+x^3$ 也照樣是 $B$ 的倍式。題目又限定三個都不為零多項式，連零多項式這個邊界都排除了，所以任何情況都成立。
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   下結論

   不論 $B$、$C$ 是什麼樣的非零多項式，只要 $A=B\times C$，$A$ 一定是 $B$ 的倍式。這個敘述在所有情況下都成立，答案填○。

關鍵觀念：#多項式 #倍式 #因式

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