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113學年鷺江國中第2次段考數學 第1題 詳解

畢氏定理三邊關係是非判斷 · 是非 · 題目出處：113 學年度第 1 學期第 2 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

答案×看逐步解析 ↓

題目
若 △ABC\triangle ABC 為直角三角形且 ∠A=90°\angle A=90°，則依據畢氏定理得知：AB‾=BC‾+CA‾\overline{AB}=\overline{BC}+\overline{CA}。（是非題，請填 ○ 或 ×）

逐步解析

  1. 1

    先看直角對著哪一邊

    判斷畢氏定理的式子對不對，第一件事永遠是「找斜邊」。題目說 ∠A=90∘\angle A=90^\circ，而直角的對邊就是斜邊，∠A\angle A 的對邊是 BC‾\overline{BC}，所以 BC‾\overline{BC} 是斜邊，AB‾\overline{AB} 與 CA‾\overline{CA} 只是兩條股。題目把 AB‾\overline{AB} 放在等號左邊單獨一項，等於是把 AB‾\overline{AB} 當成最長的那一邊，一開始就認錯了斜邊。
  2. 2

    畢氏定理講的是平方

    畢氏定理的正確寫法是「兩股的平方和等於斜邊的平方」，在這個三角形就是 AB‾2+CA‾2=BC‾2\overline{AB}^2+\overline{CA}^2=\overline{BC}^2。等號兩邊都帶平方，不是三邊長直接相加。題目寫成 AB‾=BC‾+CA‾\overline{AB}=\overline{BC}+\overline{CA}，既把斜邊放錯位置，又整個掉了平方，錯在「==」左右兩邊的邊長沒有平方這一點上。
  3. 3

    舉一組數字當反例

    取最好算的一組：AB‾=3\overline{AB}=3、CA‾=4\overline{CA}=4，由畢氏定理 BC‾=32+42=9+16=25=5\overline{BC}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5，這組確實是直角三角形。現在把數字代進題目那條式子：左邊 AB‾=3\overline{AB}=3，右邊 BC‾+CA‾=5+4=9\overline{BC}+\overline{CA}=5+4=9，3≠93\ne 9，等式根本不成立。
  4. 4

    確認永遠不成立

    這不是剛好選到壞例子。三角形的任兩邊之和一定大於第三邊，所以 BC‾+CA‾\overline{BC}+\overline{CA} 永遠比 AB‾\overline{AB} 大，題目那個等號不可能成立。因此這個敘述是錯的，答案填×。
答案
×

關鍵觀念：#畢氏定理 #直角三角形

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常見卡點
這題錯在兩個地方，缺一不可看清楚：第一，等式沒有平方，畢氏定理是 AB‾2+CA‾2=BC‾2\overline{AB}^2+\overline{CA}^2=\overline{BC}^2；第二，斜邊認錯了，∠A=90∘\angle A=90^\circ 時斜邊是它的對邊 BC‾\overline{BC}，不是 AB‾\overline{AB}。很多人看到「直角三角形」四個字就急著填○，養成習慣：先圈出直角、再指出對邊是斜邊、最後才寫式子。判是非題時只要找到一組數字讓等式不成立就能確定是×。

還是卡住嗎？

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