113學年鷺江國中第2次段考數學 第16題 詳解

答案$12\sqrt{2}-6\sqrt{3}-7\sqrt{5}+7$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先把每個根式化到最簡

   這種長算式的第一步永遠是把根式化簡，才看得出哪些是同類方根。$2\sqrt{18}=2\sqrt{9\times 2}=2\times 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$；$\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$；$\sqrt{125}=\sqrt{25\times 5}=5\sqrt{5}$。
2. 2

   把分數有理化

   $\frac{3}{\sqrt{2}-1}$ 的分母有兩項，上下同乘共軛 $\sqrt{2}+1$：$\frac{3(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1}=3\sqrt{2}+3$。
3. 3

   整理括號內

   括號內是 $\sqrt{27}+\sqrt{125}-\frac{3}{\sqrt{2}-1}=3\sqrt{3}+5\sqrt{5}-(3\sqrt{2}+3)$。把括號拆開，裡面每一項都變號：$=3\sqrt{3}+5\sqrt{5}-3\sqrt{2}-3$。
4. 4

   乘上負 2 再接回前半部

   $-2\times(3\sqrt{3}+5\sqrt{5}-3\sqrt{2}-3)=-6\sqrt{3}-10\sqrt{5}+6\sqrt{2}+6$（後兩項負負得正）。前半部是 $3\sqrt{5}+2\sqrt{18}+1=3\sqrt{5}+6\sqrt{2}+1$。把兩部分相加：$3\sqrt{5}+6\sqrt{2}+1-6\sqrt{3}-10\sqrt{5}+6\sqrt{2}+6$。
5. 5

   同類方根各自合併

   根號 $2$ 的項：$6\sqrt{2}+6\sqrt{2}=12\sqrt{2}$。根號 $3$ 的項：只有 $-6\sqrt{3}$。根號 $5$ 的項：$3\sqrt{5}-10\sqrt{5}=-7\sqrt{5}$。常數項：$1+6=7$。所以答案是 $12\sqrt{2}-6\sqrt{3}-7\sqrt{5}+7$。

關鍵觀念：#根式化簡 #分母有理化 #四則運算