113學年鷺江國中第2次段考數學 第19題 詳解

逐步解析

1. 1

   用兩點距離公式算三邊

   座標平面上兩點 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 的距離平方是 $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$。這題座標帶根號，建議先算「平方」不急著開根號，最後再一起處理。三個頂點是 $A(5,4)$、$B(6,4+\sqrt{3})$、$C(5+\sqrt{3},3)$。
2. 2

   算兩條短邊

   $\overline{AB}^2=(6-5)^2+\left[(4+\sqrt{3})-4\right]^2=1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$，所以 $\overline{AB}=2$。$\overline{CA}^2=\left[(5+\sqrt{3})-5\right]^2+(3-4)^2=(\sqrt{3})^2+(-1)^2=3+1=4$，所以 $\overline{CA}=2$。
3. 3

   算第三邊

   $\overline{BC}^2=\left[(5+\sqrt{3})-6\right]^2+\left[3-(4+\sqrt{3})\right]^2=(\sqrt{3}-1)^2+(-1-\sqrt{3})^2$。分別展開：$(\sqrt{3}-1)^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$；$(-1-\sqrt{3})^2=1+2\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3}$。相加時 $-2\sqrt{3}$ 與 $+2\sqrt{3}$ 剛好抵銷，得 $\overline{BC}^2=8$，所以 $\overline{BC}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
4. 4

   先判斷等腰

   三邊長是 $\overline{AB}=2$、$\overline{CA}=2$、$\overline{BC}=2\sqrt{2}$。$\overline{AB}=\overline{CA}$，有兩邊相等，所以它是等腰三角形。但 $2\sqrt{2}\approx 2.83\ne 2$，三邊沒有全部相等，不是正三角形。
5. 5

   再判斷直角

   最長邊是 $\overline{BC}$。檢查另外兩邊的平方和：$\overline{AB}^2+\overline{CA}^2=4+4=8$，而 $\overline{BC}^2=(2\sqrt{2})^2=8$，兩者相等。由畢氏定理的逆敘述，這個三角形有直角，而且直角在最長邊所對的頂點，也就是 $\angle A=90^\circ$。
6. 6

   下結論

   這個三角形既有兩邊相等（$\overline{AB}=\overline{CA}=2$），又有一個直角（$\angle A=90^\circ$），所以最適合的分類是等腰直角三角形。

關鍵觀念：#坐標平面 #兩點距離 #畢氏定理 #三角形分類

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