113學年鷺江國中第2次段考數學 第17題 詳解

答案(1) $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ (2) $3+2\sqrt{2}$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看懂公式在做什麼

   公式 $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 的用法是：把大根號裡面讀成「一個和」加上「$2$ 倍的根號某個積」，然後去找兩個正數 $a$、$b$，使它們的和等於前面那個數、乘積等於小根號裡那個數。注意小根號前面的係數必須恰好是 $2$，公式才能直接套。
2. 2

   ①找出和 8、積 15 的兩數

   $\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ 已經是標準形狀，對照公式可知 $a+b=8$、$ab=15$。把 $15$ 拆成兩個正整數相乘：$1\times 15$（和 $16$）、$3\times 5$（和 $8$）。$3$ 與 $5$ 兩個條件都符合，所以 $\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$。
3. 3

   ②先把係數 3 搬進根號

   $\sqrt{17+3\sqrt{32}}$ 的小根號前面是 $3$ 不是 $2$，不能直接套公式。先用 $k\sqrt{m}=\sqrt{k^2m}$ 把係數收進去：$3\sqrt{32}=\sqrt{3^2\times 32}=\sqrt{288}$。再把 $2$ 提回來：$288=4\times 72$，所以 $\sqrt{288}=2\sqrt{72}$。於是 $17+3\sqrt{32}=17+2\sqrt{72}$，形狀對了。
4. 4

   ②找出和 17、積 72 的兩數

   現在 $a+b=17$、$ab=72$。把 $72$ 拆拆看：$8\times 9=72$，而 $8+9=17$，兩個條件都符合。所以 $\sqrt{17+3\sqrt{32}}=\sqrt{9}+\sqrt{8}=3+2\sqrt{2}$（$\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=2\sqrt{2}$）。
5. 5

   平方回去驗算

   檢查②：$(3+2\sqrt{2})^2=3^2+2\times 3\times 2\sqrt{2}+(2\sqrt{2})^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$，而題目的 $3\sqrt{32}=3\times 4\sqrt{2}=12\sqrt{2}$，兩者一致。所以答案是 ① $\sqrt{5}+\sqrt{3}$；② $3+2\sqrt{2}$。

關鍵觀念：#複合根式 #根式化簡