114會考數學 第21題 詳解

平移交點・代入法 · 單選 · 題目出處：114 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   先看這題在問什麼

   這題不是在問整條拋物線怎麼移，而是在問「圖形和 $y$ 軸的交點 $P$」在平移時，$P$ 的 $y$ 座標怎麼變。
   
   因為 $P$ 一定在 $y$ 軸上，所以它的座標形式是 $(0,\,y)$。題目要我們觀察：圖形往右平移的過程中，這個交點的高度是一直增加、一直減少，還是先增加再減少。
2. 2

   把平移後的函數寫出來

   原式是
   $y=-(x+7)^2+12$。
   
   向右平移 $10$ 單位時，把 $x$ 改成 $x-10$，所以平移後變成
   $$y=-((x-10)+7)^2+12=-(x-3)^2+12。$$
   
   不過題目要的是「平移過程中」的變化，所以不能只看起點和終點，要看從向右移 $0$ 到 $10$ 的每一個位置。
3. 3

   設中途平移了 $t$ 單位

   為了看過程，設目前已經向右平移了 $t$ 單位，其中 $0\le t\le 10$。
   
   那此時的函數是
   $$y=-((x-t)+7)^2+12=-(x+7-t)^2+12。$$
   
   因為交點在 $y$ 軸上，所以要令 $x=0$，得到交點 $P$ 的高度：
   $$y=-(7-t)^2+12。$$
   
   所以 $P$ 的位置其實就是看這個函數值
   $$f(t)=-(7-t)^2+12。$$
4. 4

   看 $f(t)$ 先升還是先降

   把式子整理一下：
   $$f(t)=-(7-t)^2+12=-(t-7)^2+12.$$
   
   這是一個開口向下的二次函數，頂點在 $t=7$。
   
   這代表：
   - 當 $0\le t<7$ 時，$f(t)$ 會越來越大，交點 $P$ 會向上移；
   - 當 $7<t\le 10$ 時，$f(t)$ 會越來越小，交點 $P$ 會向下移。
5. 5

   對照選項得答案

   因為 $P$ 點在平移過程中是
   - 先向上，
   - 再向下，
   
   所以正確選項是
   $$\boxed{(D)\ 先向上再向下}$$

關鍵觀念：#二次函數 #圖形平移 #座標變化 #函數圖形