114會考數學 第21題 詳解

答案(D) 先向上再向下看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先看考什麼

   這題考「二次函數圖形的平移」加上「$y$ 軸交點」的觀察。$y = -(x + 7)^2 + 12$ 是開口向下的拋物線，頂點 $(-7, 12)$ 是整條圖形的最高點。圖形向右平移時，開口方向和最高點的高度 $12$ 都不變，變的只有對稱軸的位置。而 $P$ 是圖形與 $y$ 軸的交點，也就是把 $x = 0$ 代入所得的點。
2. 2

   寫出P的高度

   平移途中，設對稱軸移到 $x = h$，函數就是 $y = -(x - h)^2 + 12$，其中 $h$ 從 $-7$ 一路增加到 $-7 + 10 = 3$。代 $x = 0$ 得 $P$ 的 $y$ 坐標為 $-(0 - h)^2 + 12 = 12 - h^2$。所以 $P$ 的高低完全由 $h^2$ 決定：對稱軸離 $y$ 軸越近，$h^2$ 越小，$P$ 越高。
3. 3

   追蹤變化

   $h$ 從 $-7$ 增加到 $3$，中途會經過 $0$。前半段 $h$ 從 $-7$ 到 $0$：$h^2$ 從 $49$ 降到 $0$，$P$ 的 $y$ 坐標從 $12 - 49 = -37$ 升到 $12$，持續向上；後半段 $h$ 從 $0$ 到 $3$：$h^2$ 從 $0$ 升到 $9$，$P$ 從 $12$ 降到 $12 - 9 = 3$，轉為向下。畫面上就是：對稱軸滑向 $y$ 軸時交點一路爬升，頂點正好壓在 $y$ 軸上時 $P$ 衝到最高點 $12$，之後對稱軸越走越遠，$P$ 又往下掉。
4. 4

   確定選項

   $P$ 點先向上再向下，故選 (D)。最容易誤選的是 (C)：忽略式子前面的負號，把圖形當成開口向上，$P$ 的高度就變成 $h^2 + 12$，得到「先向下再向上」，方向整個相反。也有人只算起點 $-37$ 和終點 $3$，看到終點比較高就選 (B) 持續向上，漏掉中途曾衝上最高點 $12$ 的過程。

關鍵觀念：#二次函數 #圖形平移 #座標變化 #函數圖形

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