111學年鷺江國中第3次段考數學 第15題 詳解

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逐步解析

1. 1

   設總人數並寫出兩種分攤

   題目問「此班學生總人數」，就把未知數直接設成總人數：設全班有 $n$ 人。原本 $n$ 個人平分 $13750$ 元，每人 $\dfrac{13750}{n}$ 元；後來有 $3$ 人沒參加，只剩 $n-3$ 個人分攤，每人 $\dfrac{13750}{n-3}$ 元。
2. 2

   把「多 75 元」列成等式

   「每人需再多分擔 $75$ 元」是把後來的每人金額和原本的每人金額相減：$\dfrac{13750}{n-3}-\dfrac{13750}{n}=75$。人少了，每人分到的金額變大，所以是後者減前者。
3. 3

   去分母整理成二次式

   兩邊同乘 $n(n-3)$ 消掉分母：$13750n-13750(n-3)=75n(n-3)$。左邊 $13750n-13750n+41250=41250$，右邊 $75n^2-225n$。所以 $41250=75n^2-225n$，兩邊同除以 $75$ 得 $550=n^2-3n$，也就是 $n^2-3n-550=0$。
4. 4

   解方程式取合理的根

   十字相乘：找兩數相乘 $-550$、相加 $-3$，是 $-25$ 與 $22$。所以 $(n-25)(n+22)=0$，得 $n=25$ 或 $n=-22$。人數不可能是負數，取 $n=25$。
5. 5

   代回情境驗算

   全班 $25$ 人時，原本每人 $13750\div25=550$ 元；實際參加的是 $25-3=22$ 人，每人 $13750\div22=625$ 元。$625-550=75$，正好多分擔 $75$ 元，完全符合題意。所以此班學生總人數是 $25$ 人。故選 (A)。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #生活情境

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