111學年鷺江國中第3次段考數學 第16題 詳解

答案(1) $7$ 或 $-1$ (2) $-\dfrac{3}{2}$（重根） (3) $9$ 或 $-2$ (4) $\dfrac{1}{2}$ 或 $\dfrac{5}{6}$ (5) $-36$ 或 $44$ (6) $1$ 或 $-1$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先挑對工具

   解一元二次方程式有四種常用做法：能十字相乘就因式分解、長得像「完全平方＝數」就直接開平方、兩項有公因式就提公因式、都不好走才用公式解。六小題各自挑最順的那一條路，可以省下一半時間。動手前先把每個式子整理成等號一邊為 $0$。
2. 2

   第一與第二小題

   (1) $x^2-6x-7=0$：找兩數相乘 $-7$、相加 $-6$，是 $-7$ 與 $1$，分解成 $(x-7)(x+1)=0$，得 $x=7$ 或 $x=-1$。(2) $4x^2+12x+9=0$：注意 $4x^2=(2x)^2$、$9=3^2$、$12x=2\times2x\times3$，正是完全平方式 $(2x+3)^2=0$，所以 $2x+3=0$，得 $x=-\dfrac{3}{2}$，這是一個重根。
3. 3

   第三小題先乘開

   (3) $(x-2)(x-5)=28$ 的右邊不是 $0$，不能直接把括號拆開來解。先乘開：$x^2-7x+10=28$，再把 $28$ 移到左邊：$x^2-7x-18=0$。十字相乘找相乘 $-18$、相加 $-7$ 的兩數是 $-9$ 與 $2$，分解成 $(x-9)(x+2)=0$，得 $x=9$ 或 $x=-2$。
4. 4

   第四小題開平方

   (4) $4(3x-2)^2=1$：兩邊同除以 $4$ 得 $(3x-2)^2=\dfrac{1}{4}$，所以 $3x-2=\pm\dfrac{1}{2}$，正負兩種都要寫。取正號：$3x=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，$x=\dfrac{5}{6}$；取負號：$3x=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，$x=\dfrac{1}{2}$。
5. 5

   第五小題用公式解

   (5) $x(x-8)=1584$ 先整理成 $x^2-8x-1584=0$。常數太大不好湊十字相乘，直接用公式解：判別式 $(-8)^2-4\times1\times(-1584)=64+6336=6400$，而 $\sqrt{6400}=80$，所以 $x=\dfrac{8\pm80}{2}$，得 $x=\dfrac{88}{2}=44$ 或 $x=\dfrac{-72}{2}=-36$。
6. 6

   第六小題提公因式

   (6) $(x-1)(2x+3)-(x-1)(x+2)=0$：兩項都含有 $(x-1)$，提出來得 $(x-1)\left[(2x+3)-(x+2)\right]=0$。中括號裡化簡：$2x+3-x-2=x+1$。所以 $(x-1)(x+1)=0$，得 $x=1$ 或 $x=-1$。
7. 7

   把六個答案列齊

   (1) $x=7$ 或 $x=-1$；(2) $x=-\dfrac{3}{2}$（重根）；(3) $x=9$ 或 $x=-2$；(4) $x=\dfrac{1}{2}$ 或 $x=\dfrac{5}{6}$；(5) $x=-36$ 或 $x=44$；(6) $x=1$ 或 $x=-1$。

關鍵觀念：#解一元二次方程式 #因式分解 #配方法 #公式解

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