111學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

答案$19$看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   把已知寫成等式

   「$a$ 是方程式 $2x^2-4x-3=0$ 的解」的意思是：把 $x$ 換成 $a$ 之後等式會成立。所以我們手上有一條關於 $a$ 的等式：$2a^2-4a-3=0$。這條式子才是解題的工具，不必急著把 $a$ 的值算出來。
2. 2

   湊出所求要用的部分

   先把等式整理成方便使用的樣子：$2a^2-4a=3$。再看所求 $8a^2-16a+7$，前兩項 $8a^2-16a$ 的係數 $8$ 與 $-16$，剛好都是 $2$ 與 $-4$ 的 $4$ 倍，也就是 $8a^2-16a=4(2a^2-4a)$。
3. 3

   整體代入

   把 $2a^2-4a=3$ 整塊代進去：$8a^2-16a=4(2a^2-4a)=4\times3=12$。因此 $8a^2-16a+7=12+7=19$。
4. 4

   硬算一次驗證

   不放心的話可以真的把 $a$ 解出來驗算。由公式解 $a=\dfrac{4\pm\sqrt{16+24}}{4}=\dfrac{4\pm\sqrt{40}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{10}}{2}$。取 $a=\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}$，則 $a^2=\dfrac{14+4\sqrt{10}}{4}$，$8a^2=28+8\sqrt{10}$，$16a=16+8\sqrt{10}$。相減：$8a^2-16a=(28+8\sqrt{10})-(16+8\sqrt{10})=12$，和整體代入的結果一樣。
5. 5

   寫出答案

   所以 $8a^2-16a+7=12+7=19$，【⑦】填 $19$。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #代數式求值

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