111學年鷺江國中第3次段考數學 第14題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把兩個算式寫成 x 的式子

   設每個方格裡填的那個正數是 $x$。算式 $1$ 是 $x\times x+x=x^2+x$。算式 $2$ 是 $\dfrac{x}{x}-x$；因為 $x$ 是正數、不等於 $0$，$\dfrac{x}{x}=1$，所以算式 $2$ 等於 $1-x$。
2. 2

   列出方程式

   兩個算式的值相等：$x^2+x=1-x$。把右邊整個移到左邊，每一項都要變號：$x^2+x-1+x=0$，合併同類項得 $x^2+2x-1=0$。
3. 3

   用公式解

   $a=1$、$b=2$、$c=-1$。判別式 $b^2-4ac=2^2-4\times1\times(-1)=4+4=8$，大於 $0$，有兩個不相等的解。代入公式：$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
4. 4

   取正數的那一個

   $\sqrt{2}\approx1.414$，所以 $-1+\sqrt{2}\approx0.414$ 是正數，$-1-\sqrt{2}\approx-2.414$ 是負數。題目規定方格裡要填正數，所以取 $x=-1+\sqrt{2}$。故選 (B)。
5. 5

   代回兩個算式檢查

   取 $x=-1+\sqrt{2}$，先算 $x^2=(-1+\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}$。算式 $1$：$x^2+x=(3-2\sqrt{2})+(-1+\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。算式 $2$：$1-x=1-(-1+\sqrt{2})=2-\sqrt{2}$。兩個算式的值確實相等。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用

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