109學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   照題目要求配方

   題目指定用配方法，第一步先把二次項係數變成 1：$5x^2+qx-5=0$ 兩邊同除以 5，得 $x^2+\dfrac{q}{5}x-1=0$，再把常數項移到右邊，得 $x^2+\dfrac{q}{5}x=1$。
2. 2

   補上一次項係數一半的平方

   一次項係數是 $\dfrac{q}{5}$，它的一半是 $\dfrac{q}{10}$。兩邊同加 $\left(\dfrac{q}{10}\right)^2$，左邊完成配方：$\left(x+\dfrac{q}{10}\right)^2=1+\dfrac{q^2}{100}$，所以 $x=-\dfrac{q}{10}\pm\sqrt{1+\dfrac{q^2}{100}}$。
3. 3

   和題目給的根比對

   題目給的根是 $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，可以拆成 $-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$。和上一步比對，根號外的那一項要相等：$-\dfrac{q}{10}=-\dfrac{1}{2}$，所以 $q=5$。
4. 4

   代回去檢查一次

   把 $q=5$ 代回原式得 $5x^2+5x-5=0$，兩邊除以 5 得 $x^2+x-1=0$，配方得 $\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}$，解得 $x=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，和題目給的完全相同。所以 $q=5$。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #配方法

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