109學年鷺江國中第1次段考數學 第2題 詳解

逐步解析

1. 1

   次數看最高次項

   多項式的次數，指的是合併同類項之後「還活著」的最高次項的次數。所以問 $3A+7B$ 是幾次，關鍵在於相加以後五次項會不會被消掉。
2. 2

   五次項係數可能是零

   設 $A$ 的五次項是 $ax^5$、$B$ 的五次項是 $bx^5$，那麼 $3A+7B$ 的五次項就是 $(3a+7b)x^5$。只要 $3a+7b=0$，這一項就整個消失了。
3. 3

   舉一個反例

   取 $A=7x^5+x$、$B=-3x^5$，兩個都是 $x$ 的五次多項式。相加得 $3A+7B=(21x^5+3x)+(-21x^5)=3x$，只剩一次項，是一次多項式而不是五次多項式。
4. 4

   有反例就推翻

   只要找得到一組反例，「$3A+7B$ 也一定是五次多項式」這句話就不成立。正確的說法應該是：$3A+7B$ 的次數不會超過五次，但有可能更低，甚至變成零多項式。所以這句敘述錯誤，答 ×。

關鍵觀念：#多項式加法 #多項式次數

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