109學年鷺江國中第3次段考數學 第11題 詳解

逐步解析

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   第一小題：提公因式

   (1) 兩項都含有 $(x-1)$，千萬不要展開。提出來得 $(x-1)\left[(x+4)-(3x-7)\right]=0$，中括號內化簡為 $x+4-3x+7=-2x+11$，所以 $(x-1)(-2x+11)=0$，得 $x=1$ 或 $x=\dfrac{11}{2}$。
2. 2

   第二小題：完全平方

   (2) $4x^2-28x+49$ 的頭是 $(2x)^2$、尾是 $7^2$，中間項驗算 $2\times2x\times7=28x$ 對得上，所以它等於 $(2x-7)^2$。由 $(2x-7)^2=0$ 得 $2x-7=0$，$x=\dfrac{7}{2}$，這是一個重根。
3. 3

   第三小題：提 4 再平方差

   (3) $4x^2-4=4(x^2-1)=4(x+1)(x-1)=0$，所以 $x=-1$ 或 $x=1$，合起來寫成 $x=\pm1$。也可以由 $4x^2=4$ 得 $x^2=1$，再開平方取正負兩個值。
4. 4

   第四小題：認出同一個括號

   (4) 注意 $(5-4x)^2=(4x-5)^2$，所以兩項都含 $(4x-5)$。提出來得 $(4x-5)\left[(-x+2)+(4x-5)\right]=(4x-5)(3x-3)=0$，於是 $x=\dfrac{5}{4}$ 或 $x=1$。
5. 5

   第五小題：開平方

   (5) $6x^2=18$ 兩邊同除以 6 得 $x^2=3$。平方等於 3 的數有兩個，所以 $x=\sqrt{3}$ 或 $x=-\sqrt{3}$，合起來寫成 $x=\pm\sqrt{3}$。
6. 6

   第六小題：十字交乘湊數

   (6) $x^2-40x+399=0$ 要找兩個數相乘得 $399$、相加得 $40$。把 399 拆成 $19\times21$，而 $19+21=40$，所以 $x^2-40x+399=(x-19)(x-21)=0$，得 $x=19$ 或 $x=21$。
7. 7

   第七小題：分解不了就套公式

   (7) $x^2-5x+1=0$ 湊不出整數因式，改用公式解。$a=1$、$b=-5$、$c=1$，$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{5\pm\sqrt{25-4}}{2}=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}$。七格依序是 $1$ 與 $\dfrac{11}{2}$、$\dfrac{7}{2}$、$\pm1$、$\dfrac{5}{4}$ 與 $1$、$\pm\sqrt{3}$、$19$ 與 $21$、$\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}$。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #解方程式 #因式分解 #公式解

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