113學年鷺江國中第3次段考數學 第19題 詳解

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逐步解析

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   設「增加的人數」當未知數

   這題的折扣是跟著「多出來的人數」走的，所以未知數要設在增加量上。設在 $25$ 人之外又增加了 $k$ 人，則參加人數為 $25+k$ 人；每增加 $1$ 人每人便宜 $100$ 元，所以每人收費變成 $7000-100k$ 元。
2. 2

   列出總收入的方程式

   總收入 $=$ 人數 $\times$ 每人收費，依題意 $(25+k)(7000-100k)=195000$。為了讓數字小一點，先把第二個括號裡的 $100$ 提出來：$100(25+k)(70-k)=195000$，兩邊同除以 $100$ 得 $(25+k)(70-k)=1950$。
3. 3

   展開整理成標準式

   展開左邊：$(25+k)(70-k)=1750-25k+70k-k^2=-k^2+45k+1750$。於是 $-k^2+45k+1750=1950$，移項得 $-k^2+45k-200=0$，兩邊同乘 $-1$ 讓二次項變正：$k^2-45k+200=0$。
4. 4

   解出增加的人數

   用公式解：$b^2-4ac=(-45)^2-4\times1\times200=2025-800=1225$，而 $\sqrt{1225}=35$。所以 $k=\dfrac{45\pm35}{2}$，化簡得 $k=\dfrac{80}{2}=40$ 或 $k=\dfrac{10}{2}=5$。（也可以直接分解成 $(k-5)(k-40)=0$，結果一樣。）
5. 5

   換算成人數、篩選並驗算

   題目問的是參加人數，要換算回 $25+k$：$k=40$ 時是 $65$ 人，$k=5$ 時是 $30$ 人。題目限定參加人數少於 $40$ 人，所以 $65$ 人不合，取 $30$ 人。驗算：$30$ 人代表多了 $5$ 人，每人收費 $7000-100\times5=6500$ 元，總收入 $30\times6500=195000$ 元，完全吻合。故共有 $30$ 人參加；$30$ 是整數，已是最簡形式。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #生活應用

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