113學年鷺江國中第3次段考數學 第18題 詳解

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逐步解析

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   設邊長，寫出新的三邊

   設原正三角形的邊長為 $x$。一邊增加 $1$ 變成 $x+1$，另一邊減少 $7$ 變成 $x-7$，第三邊不變仍是 $x$。邊長必須是正數，所以 $x-7>0$，也就是 $x>7$；這個條件最後篩選答案時會用到，現在先記下來。
2. 2

   判斷誰是斜邊

   直角三角形中最長的一邊是斜邊。比較三邊：$x+1>x>x-7$，最長的是 $x+1$，所以斜邊就是 $x+1$，另外兩邊 $x$ 和 $x-7$ 是兩股。列畢氏定理前一定要先做這個判斷，否則式子一開始就寫錯。
3. 3

   用畢氏定理列式

   由畢氏定理「兩股平方和等於斜邊平方」：$x^2+(x-7)^2=(x+1)^2$。兩邊展開：左邊 $=x^2+(x^2-14x+49)=2x^2-14x+49$；右邊 $=x^2+2x+1$。
4. 4

   整理並解方程式

   $2x^2-14x+49=x^2+2x+1$，把右邊移到左邊：$2x^2-14x+49-x^2-2x-1=0$，整理得 $x^2-16x+48=0$。因式分解：找兩個數相乘得 $48$、相加得 $-16$，就是 $-4$ 和 $-12$，故 $(x-4)(x-12)=0$，得 $x=4$ 或 $x=12$。
5. 5

   檢查條件並驗算

   因為 $x>7$，$x=4$ 必須捨去（$4-7=-3$，邊長不可能是負的）。所以 $x=12$。驗算：三邊變成 $12+1=13$、$12$、$12-7=5$，而 $5^2+12^2=25+144=169=13^2$，確實是直角三角形。故原正三角形的邊長為 $12$，這是整數也是最簡形式，直接寫 $12$ 即可。

關鍵觀念：#畢氏定理 #一元二次方程式應用

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