113學年鷺江國中第3次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

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   重根的條件與隱藏前提

   一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 有重根（兩個解相同）的條件是判別式 $b^2-4ac=0$。另外有一個容易被忽略的前提：題目既然說它是「一元二次方程式」，二次項係數就不可以是 $0$，也就是 $m\ne0$，這個條件最後一定要拿出來用。
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   算出判別式

   $mx^2-4mx+8=0$ 對應 $a=m$、$b=-4m$、$c=8$。判別式 $b^2-4ac=(-4m)^2-4\times m\times8=16m^2-32m$。注意 $(-4m)^2$ 要把 $-4$ 和 $m$ 一起平方，結果是 $+16m^2$。
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   令判別式為 0 解出 m

   令 $16m^2-32m=0$，提出公因式 $16m$：$16m(m-2)=0$，所以 $16m=0$ 或 $m-2=0$，得 $m=0$ 或 $m=2$。這裡同樣不能兩邊同除以 $m$，要用提公因式的方式，才看得清楚兩個可能。
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   用前提篩掉不合的值

   檢查 $m=0$：原式會變成 $0\cdot x^2-0\cdot x+8=0$，也就是 $8=0$，這個等式根本不成立，更談不上是一元二次方程式，所以 $m=0$ 必須捨去。因此只剩 $m=2$。
5. 5

   代回驗算並寫出最簡答案

   把 $m=2$ 代回：$2x^2-8x+8=0$，兩邊同除以 $2$ 得 $x^2-4x+4=0$，即 $(x-2)^2=0$，解出 $x=2$ 是重根，條件確實成立。所以 $m=2$。這個值是整數，已經是最簡形式，作答時直接寫 $2$，不要留成 $\dfrac{32}{16}$ 這種沒約分的樣子。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #重根 #判別式

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