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110學年新莊國中第3次段考數學 第4題 詳解

配方法解一元二次方程式估算根的範圍 · 單選 · 題目出處：110 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

題目
方程式 (4x+5)2=363(4x+5)^2=363 的解為 x=−5±bc4x=\dfrac{-5\pm b\sqrt{c}}{4}，其中 bb、cc 為正整數，請問 b×c\sqrt{b\times c} 的結果介於哪兩個數之間？
(A) 33、44　(B) 44、55　(C) 55、66　(D) 66、77

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    兩邊開平方根

    (4x+5)2=363(4x+5)^2=363，表示 4x+54x+5 是 363363 的平方根，有正負兩個：4x+5=±3634x+5=\pm\sqrt{363}
  2. 2

    化簡根號

    363=121×3=112×3363=121\times3=11^2\times3，所以 363=113\sqrt{363}=11\sqrt{3}。<br>4x=−5±1134x=-5\pm11\sqrt{3}，x=−5±1134x=\dfrac{-5\pm11\sqrt{3}}{4}。
  3. 3

    對照得 b、c

    和 x=−5±bc4x=\dfrac{-5\pm b\sqrt{c}}{4} 對照，b=11b=11、c=3c=3，所以 b×c=33b\times c=33。
  4. 4

    估計根號 33

    52=255^2=25、62=366^2=36，而 25<33<3625<33<36，所以 5<33<65<\sqrt{33}<6，故選 (C)。
答案
(C)

關鍵觀念：#一元二次方程式 #平方根解法 #平方根估計

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常見卡點
363\sqrt{363} 一定要化成最簡根式 11311\sqrt{3} 才能讀出 bb、cc；若直接當成 b=1b=1、c=363c=363，會算出 363\sqrt{363} 約 1919，不在任何選項裡。另外開平方根別忘了正負兩個，這題雖然不影響 bb、cc，但解方程式時少了負號就少一個解。

還是卡住嗎？

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