109學年新莊國中第1次段考數學第3題詳解

多項式除法的商式次數判斷 · 單選 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 1 次定期評量數學科（新北市立新莊國民中學）

題目

若A是

x

的3次多項式，B是

x

的一次多項式，則5A除以3B，所得的商式是

x

的幾次多項式？
(A)四次　(B)三次　(C)二次　(D)一次

逐步解析

1

常數不改變次數

$A$ 是 $x$ 的 3 次多項式， $5A$ 只是每項係數乘 5，最高次項仍是 $x^3$ ，所以 $5A$ 還是 3 次；同理 $3B$ 還是 1 次。
2

除法的次數相減

用直式除法時，每一步都用除式的最高次項去除被除式的最高次項。3 次項除以 1 次項，得到商的第一項是 $x^2$ 的項，後面只會出現更低次的項，所以商式的次數是 $3-1=2$ 。
3

結論與易錯

商式是 $x$ 的二次多項式。若把次數相加得 $3+1=4$ ，那是「乘法」的情形，會誤選 (A)；把 5、3 當成會影響次數的也不對。故選 (C)。