113學年鷺江國中第3次段考數學 第13題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看懂配方法的每一行

   【圖二】四行由上而下是：$3x^2+ax+b=0$、$x^2+\dfrac{4}{3}x=c$、$(x+d)^2=\dfrac{22}{9}$、$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}$。第一行到第二行做的是「兩邊同除以 $3$，再把常數項移到右邊」；第二行到第三行做的是「配方」；第三行到第四行是「開平方」。我們就照這個順序把 $a$、$b$、$c$、$d$ 一個一個找出來。
2. 2

   比對第二行求出 a

   把第一行兩邊同除以 $3$：$x^2+\dfrac{a}{3}x+\dfrac{b}{3}=0$，再把常數項移到右邊得 $x^2+\dfrac{a}{3}x=-\dfrac{b}{3}$。和第二行 $x^2+\dfrac{4}{3}x=c$ 比對，一次項係數要相等：$\dfrac{a}{3}=\dfrac{4}{3}$，所以 $a=4$；同時也得到關係 $c=-\dfrac{b}{3}$。
3. 3

   比對第三行求 d、c

   第二行配方：一次項係數 $\dfrac{4}{3}$ 的一半是 $\dfrac{2}{3}$，兩邊同加 $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}$，得 $\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2=c+\dfrac{4}{9}$。對照第三行 $(x+d)^2=\dfrac{22}{9}$，可知 $d=\dfrac{2}{3}$，並且 $c+\dfrac{4}{9}=\dfrac{22}{9}$，解得 $c=\dfrac{22}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{18}{9}=2$。
4. 4

   求 b 並檢查第四行

   由 $c=-\dfrac{b}{3}$ 與 $c=2$ 得 $-\dfrac{b}{3}=2$，所以 $b=-6$。再檢查最後一行：$\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{22}{9}$ 兩邊開平方得 $x+\dfrac{2}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{22}}{3}$，移項 $x=-\dfrac{2}{3}\pm\dfrac{\sqrt{22}}{3}=\dfrac{-2\pm\sqrt{22}}{3}$，和圖上第四行完全吻合，確認前面求出的值都正確。
5. 5

   代入所求並排除誤答

   $a+b-c+d=4+(-6)-2+\dfrac{2}{3}=-4+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{12}{3}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{10}{3}$。誤答方面：(B) $-\dfrac{14}{3}$ 來自把 $d$ 的正負號弄反——看到最後一行分子有個 $-2$ 就以為 $d=-\dfrac{2}{3}$，代入得 $4-6-2-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{14}{3}$。另外若移項時把 $b$ 的負號漏掉、寫成 $b=6$，會算出 $4+6-2+\dfrac{2}{3}=\dfrac{26}{3}$，這個值不在選項裡。故選 (A)。

關鍵觀念：#配方法 #一元二次方程式

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