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109學年新莊國中第3次段考數學 第19題 詳解

證明一元二次方程式兩根互為倒數 · 非選 · 題目出處：109 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立新莊國民中學）

答案由根與係數關係，設 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)=0ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=0，展開得 α+β=−ba\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}、αβ=ca\alpha\beta=\dfrac{c}{a}；又 a=ca=c，故 αβ=ca=1\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=1，即兩數互為倒數，得證。看逐步解析 ↓

題目
第二部分非選擇題：請用黑色墨水的筆寫在答案卷上相應的欄位內（依計算過程酌量給分，沒有計算過程不給分）
1. 已知α、β為一元二次方程式ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0的兩根，其中a≠0a\neq0，a=ca=c且b2−4ac>0b^2-4ac>0。求證：兩數互為倒數。

逐步解析

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答案
由根與係數關係，設 ax2+bx+c=a(x−α)(x−β)=0ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)=0，展開得 α+β=−ba\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}、αβ=ca\alpha\beta=\dfrac{c}{a}；又 a=ca=c，故 αβ=ca=1\alpha\beta=\dfrac{c}{a}=1，即兩數互為倒數，得證。

關鍵觀念：#一元二次方程式的根 #根與係數關係 #證明

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