111學年鷺江國中第3次段考數學 第5題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用判別式分三種情況

   一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的解的個數，由判別式 $D=b^2-4ac$ 決定：$D>0$ 有兩個不相等的解、$D=0$ 有一個重根（仍然有解）、$D<0$ 才是沒有實數解。題目問「無解」，就是要找 $D<0$ 的那一個，所以把四個選項的 $D$ 都算一次。
2. 2

   算 A 與 B

   (A) $2x^2-9x+5=0$：$a=2$、$b=-9$、$c=5$，$D=(-9)^2-4\times2\times5=81-40=41>0$，有兩個不相等的解。(B) $4x^2+2x+\dfrac{1}{4}=0$：$D=2^2-4\times4\times\dfrac{1}{4}=4-4=0$，是重根；事實上兩邊乘 $4$ 得 $16x^2+8x+1=(4x+1)^2=0$，解是 $x=-\dfrac{1}{4}$。
3. 3

   算 C 與 D

   (C) $x^2+x+2=0$：$D=1^2-4\times1\times2=1-8=-7<0$。(D) $9x^2-12x+4=0$：$D=(-12)^2-4\times9\times4=144-144=0$，是重根；事實上 $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$，解是 $x=\dfrac{2}{3}$。
4. 4

   下結論

   四個選項的判別式依序是 $41$、$0$、$-7$、$0$，只有 (C) 是負的。判別式為負代表要開一個負數的平方根，但任何實數平方後都不會是負數，所以 $x^2+x+2=0$ 找不到實數解。故選 (C)。

關鍵觀念：#判別式 #一元二次方程式

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