109學年鷺江國中第1次段考數學 第17題 詳解

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逐步解析

1. 1

   用相切列出半徑關係

   兩圓外切時，圓心距等於兩半徑和。設 $A$ 圓的半徑為 $x$，由 $\overline{AB}=8$ 得 $B$ 圓半徑 $8-x$；由 $\overline{BC}=6$ 得 $C$ 圓半徑 $6-(8-x)=x-2$；由 $\overline{CD}=5$ 得 $D$ 圓半徑 $5-(x-2)=7-x$。
2. 2

   檢查最後一個條件

   再看 $\overline{AD}$：$D$ 圓半徑加 $A$ 圓半徑 $=(7-x)+x=7$，正好等於題目的 $\overline{AD}=7$。這表示 $x$ 沒有被四個條件定死，還可以自由變動，所以面積和才會有最小值可以求。
3. 3

   列出四圓面積和

   面積和 $=\pi\left[x^2+(8-x)^2+(x-2)^2+(7-x)^2\right]$。展開：$x^2+(64-16x+x^2)+(x^2-4x+4)+(49-14x+x^2)=4x^2-34x+117$，所以面積和 $=(4x^2-34x+117)\pi$。
4. 4

   配方求最小值

   $4x^2-34x+117=4\left(x^2-\dfrac{17}{2}x\right)+117=4\left(x-\dfrac{17}{4}\right)^2-\dfrac{289}{4}+117=4\left(x-\dfrac{17}{4}\right)^2+\dfrac{179}{4}$。
5. 5

   檢查合理性並下結論

   $x=\dfrac{17}{4}$ 時最小。此時四個半徑是 $\dfrac{17}{4}$、$\dfrac{15}{4}$、$\dfrac{9}{4}$、$\dfrac{11}{4}$，都是正數，圖形確實畫得出來。最小值 $=\dfrac{179}{4}\pi$ 平方單位。故選 (C)。

關鍵觀念：#二次函數 #配方求最小值 #圓面積 #應用問題 #兩圓外切

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