109學年鷺江國中第1次段考數學 第16題 詳解

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逐步解析

1. 1

   看清楚圖形怎麼圍

   線段是「圍成」圖形，所以線段長就是圖形的周長。長方形 $PMNO$ 中 $\overline{PO}=t$ 是短邊、$\overline{PM}=3t$ 是長邊，它的周長 $2(t+3t)=8t$ 就是 $\overline{AP}$，因此 $\overline{AP}=8t$。
2. 2

   算正方形的邊長

   $\overline{AB}=28$，所以 $\overline{BP}=28-8t$。這段圍成正方形 $PVUT$，四邊等長，邊長 $=\dfrac{28-8t}{4}=7-2t$。
3. 3

   列出面積和

   長方形面積 $=3t\times t=3t^2$，正方形面積 $=(7-2t)^2=4t^2-28t+49$。兩者相加 $S=3t^2+4t^2-28t+49=7t^2-28t+49$。
4. 4

   配方求最小值

   $S=7(t^2-4t)+49=7\left[(t-2)^2-4\right]+49=7(t-2)^2-28+49=7(t-2)^2+21$。平方項最小是 $0$，所以 $t=2$ 時 $S$ 最小，$s=21$。
5. 5

   驗算並下結論

   $t=2$ 時長方形是 $2\times6$，面積 $12$；正方形邊長 $7-4=3$，面積 $9$；合計 $21$。而 $\overline{AP}=16$、$\overline{BP}=12$，相加正好 $28$，完全吻合。故選 (B)。

關鍵觀念：#二次函數 #配方求最小值 #應用問題

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