114會考數學 第13題 詳解

平方根・解的判斷 · 單選 · 題目出處：114 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

1. 1

   先看這題在考什麼

   這題在考「平方後的結果」和「解的個數」。重點是：
   1. 如果 $(x-a)^2=b$，而且 $b>0$，通常會有兩個相異的實數解。
   2. 如果 $b=0$，會有一個相同的解。
   3. 如果 $b<0$，因為任何實數的平方都不可能是負數，所以沒有實數解。
   所以這題其實不用真的解到最後，只要先判斷右邊的數是不是正、零、負，就能知道解的情形。
2. 2

   先判斷甲方程式

   甲方程式是 $(x-4)^2=9$。
   因為 $9>0$，所以這是一個「平方等於正數」的方程式。
   我們可以進一步想成：
   $$x-4=\pm 3$$
   也就是
   $$x=4+3$$ 或 $$x=4-3$$
   所以甲有兩個相異的解，分別是 $7$ 和 $1$。
   因此甲的解的情形是「兩個相異的解」。
3. 3

   再判斷乙方程式

   乙方程式是 $(x+9)^2=-4$。
   注意右邊是 $-4$，是負數。
   但是任何實數的平方都一定是 $0$ 或正數，不可能等於負數。
   例如：
   $2^2=4$，$(-2)^2=4$，$0^2=0$。
   你看，平方不會出現負的結果。
   所以乙方程式沒有實數解，也就是無解。
4. 4

   對照選項找答案

   我們整理一下：
   - 甲：有兩個相異的解
   - 乙：無解
   
   符合這個敘述的只有
   $$\text{(A) 甲有兩個相異的解，乙無解}$$
   所以正確答案是 $(A)$。

關鍵觀念：#一元二次方程式 #平方根 #實數解