114會考數學 第12題 詳解

正三角錐・側面判斷 · 單選 · 題目出處：114 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   先判斷正三角錐的結構

   正三角錐的底面是正三角形，三個側面都要是全等等腰三角形。既然甲的邊長是 $3,3,3$，所以它當底面時，每一片側面「貼到底面」的那一邊，都必須是 $3$。
2. 2

   阿林選乙，先看能不能對上底邊

   乙的邊長是 $3,3,2$。把邊長 $3$ 的那一邊貼到底面後，剩下兩邊是 $3$ 和 $2$。
3. 3

   阿林不能組成正三角錐

   正三角錐的三個側面要在同一個錐頂相交，所以每個側面的另外兩邊，代表錐頂到底面兩個頂點的距離，必須相等。可是乙剩下的兩邊是 $3$ 和 $2$，不相等，表示三條側稜無法一致，因此阿林不能組成正三角錐。
4. 4

   小博選丙，先看能不能對上底邊

   丙的邊長是 $4,4,3$。把邊長 $3$ 的那一邊貼到底面後，剩下兩邊是 $4$ 和 $4$。
5. 5

   小博可以組成正三角錐

   丙剩下的兩邊相等，表示三片側面的側稜都可以是 $4$，能在同一個錐頂交會。再檢查幾何可行性：底面正三角形邊長 $3$ 的外接圓半徑是 $\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\approx1.73$，而側稜長 $4>1.73$，所以錐高存在，小博可以組成正三角錐。

關鍵觀念：#正三角錐 #等腰三角形 #底邊對應