108學年鷺江國中第3次段考數學 第8題 詳解

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   從「兩根都是整數」下手

   設兩根是整數 $p$、$q$。既然 $ax^2+bx+c=0$ 的解是 $p$ 與 $q$，這個二次式就一定寫得成 $a(x-p)(x-q)$ 的樣子，也就是 $ax^2+bx+c=a(x-p)(x-q)$。
2. 2

   乘開後比較係數

   把右邊乘開：$a(x-p)(x-q)=a\left(x^2-(p+q)x+pq\right)=ax^2-a(p+q)x+apq$。和左邊 $ax^2+bx+c$ 逐項對照可得 $b=-a(p+q)$、$c=apq$。
3. 3

   代進判別式化簡

   把 $b$、$c$ 代入判別式：$$b^2-4ac=a^2(p+q)^2-4a\cdot apq=a^2\left[(p+q)^2-4pq\right]=a^2(p-q)^2$$ 而 $a^2(p-q)^2=\left[a(p-q)\right]^2$。$a$、$p$、$q$ 都是整數，所以 $a(p-q)$ 是整數，$b^2-4ac$ 一定是某個整數的平方，也就是完全平方數。
4. 4

   檢查四個數字

   (A) $0=0^2$：$x^2=0$ 兩根都是 $0$，判別式 $0$，做得到。(B) $1=1^2$：$x^2-x=0$ 兩根是 $0$ 與 $1$，判別式 $1$，做得到。(D) $16=4^2$：$x^2-4x=0$ 兩根是 $0$ 與 $4$，判別式 $16$，做得到。而 (C) 的 $12$ 夾在 $3^2=9$ 與 $4^2=16$ 之間，不是任何整數的平方，做不到。故選 (C)。

關鍵觀念：#判別式 #整數根

同主題一起複習：多項式與方程式 →