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111學年鷺江國中第1次段考數學 第1題 詳解

二次函數開口大小判斷 · 單選 · 題目出處：111 學年度第 2 學期第 1 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
判斷下列各二次函數，哪一個圖形的開口最小？
(A) y=−3x2y=-3x^2
(B) y=−13x2y=-\dfrac{1}{3}x^2
(C) y=−23x2y=-\dfrac{2}{3}x^2
(D) y=−2x2y=-2x^2

答案(A)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    開口大小看什麼

    二次函數 y=ax2y=ax^2 的圖形是拋物線，aa 的正負決定開口向上還是向下，而開口的「大小、寬窄」只跟 ∣a∣|a| 有關：∣a∣|a| 愈大，圖形被夾得愈窄，開口愈小；∣a∣|a| 愈小，圖形愈開闊，開口愈大。
  2. 2

    四個選項都開口向下

    四個選項的 aa 依序是 −3-3、−13-\frac{1}{3}、−23-\frac{2}{3}、−2-2，全部是負數，所以四個圖形都開口向下。既然開口方向一樣，就只要比 ∣a∣|a| 的大小。
  3. 3

    比較四個絕對值

    ∣−3∣=3|-3|=3、∣−13∣=13\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}、∣−23∣=23\left|-\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}、∣−2∣=2|-2|=2。由大到小排列是 3>2>23>133>2>\frac{2}{3}>\frac{1}{3}。
  4. 4

    取絕對值最大者

    ∣a∣|a| 最大的是 33，對應的函數是 y=−3x2y=-3x^2，它的圖形被夾得最窄，開口最小。故選 (A)。
答案
(A)

關鍵觀念：#二次函數 #開口大小

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常見卡點
這題最容易掉進去的是把「開口大小」和「∣a∣|a| 的大小」方向記反：看到 ∣−13∣=13\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3} 最小，就以為開口也最小而選 (B)。事實剛好相反，y=−13x2y=-\frac{1}{3}x^2 的圖形是四個裡面最開闊的，開口最大。記法是把 ∣a∣|a| 想成把圖形往中間夾的力道，夾得愈緊開口愈小。另外「開口向上或向下」看的是 aa 的正負號，和開口的寬窄是兩件事，不要混在一起比。

還是卡住嗎？

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