114學年鷺江國中第1次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先掌握原圖形的資訊

   $y=-2(x-5)^2+6$ 的頂點是 $(5,6)$，對稱軸是直線 $x=5$，因為 $-2<0$ 所以開口向下。令 $y=0$：$-2(x-5)^2+6=0$，得 $(x-5)^2=3$，所以 $x=5-\sqrt{3}$ 或 $x=5+\sqrt{3}$。也就是 $a=5-\sqrt{3}$、$b=5+\sqrt{3}$。
2. 2

   往下平移不會改變對稱軸

   把圖形往下平移 $t$ 個單位（$t>0$），新函數是 $y=-2(x-5)^2+6-t$。括號裡完全沒有變動，所以對稱軸仍然是 $x=5$，開口方向也還是向下。圖形與 $x$ 軸的兩個交點一定對稱於對稱軸，所以 $\frac{a+b}{2}=5$、$\frac{c+d}{2}=5$，得 $a+b=c+d=10$。
3. 3

   比較兩段交點的距離

   由 $(x-5)^2=3$ 可得 $b-a=2\sqrt{3}$。平移後令 $y=0$：$-2(x-5)^2+6-t=0$，得 $(x-5)^2=\frac{6-t}{2}$，所以 $d-c=2\sqrt{\frac{6-t}{2}}$。因為 $t>0$，$\frac{6-t}{2}<3$，開根號後也比較小，所以 $d-c<2\sqrt{3}=b-a$，也就是 $b-a>d-c$。
4. 4

   用圖形再確認一次

   開口向下的拋物線，只有頂點附近高過 $x$ 軸的那一段才會切到 $x$ 軸。把整條曲線往下拉，露在 $x$ 軸上方的部分變窄變短，兩個交點自然向對稱軸靠攏。所以 $a+b=c+d$ 且 $b-a>d-c$。故選 (C)。

關鍵觀念：#二次函數 #圖形平移 #與x軸交點

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