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108學年鷺江國中第3次段考數學 第4題 詳解

配方法解方程式步驟糾錯 · 單選 · 題目出處：108 學年度第 1 學期第 3 次定期評量 數學科（新北市立鷺江國民中學）

題目
欲利用配方法解x2−10x+3=0x^2-10x+3=0，則下列哪一個步驟開始錯誤？ (A) 步驟一：x2−10x=−3x^2-10x=-3 (B) 步驟二：x2−10x+(102)2=−3+25x^2-10x+\left(\dfrac{10}{2}\right)^2=-3+25 (C) 步驟三：(x−10)2=22(x-10)^2=22 (D) 步驟四：x−10=±22x-10=\pm\sqrt{22}，x=10±22x=10\pm\sqrt{22}。

答案(C)看逐步解析 ↓

逐步解析

  1. 1

    配方法的標準流程

    配方法的順序是：常數移到右邊 →\rightarrow 兩邊同加「一次項係數一半的平方」→\rightarrow 左邊寫成完全平方 →\rightarrow 開平方求解。照這個流程逐步檢查四個步驟。
  2. 2

    步驟一、二都正確

    步驟一把 +3+3 移到右邊：x2−10x=−3x^2-10x=-3，(A) 正確。步驟二兩邊同加 (102)2=25\left(\dfrac{10}{2}\right)^2=25，左邊成為 x2−10x+25x^2-10x+25、右邊成為 −3+25-3+25，(B) 也正確。
  3. 3

    步驟三開始出錯

    左邊 x2−10x+25x^2-10x+25 要寫成完全平方，應該是 (x−5)2(x-5)^2，因為 (x−5)2=x2−10x+25(x-5)^2=x^2-10x+25。步驟三卻寫成 (x−10)2(x-10)^2，而 (x−10)2=x2−20x+100(x-10)^2=x^2-20x+100，和左邊根本不是同一個式子。括號裡要放的是一次項係數的一半，也就是 55，不是 1010。故選 (C)。
  4. 4

    把正確的做完

    照正確寫法：(x−5)2=22(x-5)^2=22，開平方得 x−5=±22x-5=\pm\sqrt{22}，所以 x=5±22x=5\pm\sqrt{22}。步驟四在「(x−10)2=22(x-10)^2=22」的前提下運算本身沒有再犯新錯，它的偏差是從步驟三一路帶下來的，所以最先出錯的仍是步驟三。
答案
(C)

關鍵觀念：#配方法

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常見卡點
配方法最容易錯的就是括號裡該放什麼。兩邊補的是一次項係數一半的平方，寫成完全平方時括號裡放的也是那個「一半」，這題是 55 不是 1010。很多人前一行明明補了 2525，下一行卻寫成 (x−10)2(x-10)^2，前後自相矛盾。檢查方法很簡單：把括號展開回去，看看是不是真的等於左邊那三項。另外符號跟著一次項走，一次項是負的，括號裡就是減。

還是卡住嗎？

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