112學年鷺江國中第1次段考數學 第22題 詳解

答案$9420$（就是愛你）看逐步解析 ↓

逐步解析

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   先看懂密碼的規則

   把 $(ax+b)(cx+d)$ 乘開：$acx^2+(ad+bc)x+bd$。密碼就是把降冪排列後各項的係數依序連寫。拿題目的例子驗證：$a=1$、$b=3$、$c=5$、$d=4$ 時 $(x+3)(5x+4)=5x^2+19x+12$，係數依序是 $5$、$19$、$12$，連起來正是 $51912$，規則確認無誤。
2. 2

   代入已知的 a 與 d

   題目給 $a=9$、$d=0$。代進去：$(9x+b)(cx+0)=9c\cdot x^2+(9\times0+bc)x+b\times0=9cx^2+bcx$。常數項 $bd=0$ 整個消失，降冪排列後只剩下兩項，所以密碼只由兩個係數連成。如果硬把常數項 $0$ 也算一段，密碼就一定以 $0$ 結尾，可是題目給的是 $188$，所以降冪排列後真的只有兩項。
3. 3

   把密碼 188 拆成兩段

   兩段係數依序是 $9c$ 與 $bc$，連起來要等於 $188$。先看第一段 $9c$，它一定是 $9$ 的倍數：若只取一位 $1$，$9c=1$ 沒有整數解；取兩位 $18$，則 $9c=18$，得 $c=2$，可行。所以只有「$18$ 加 $8$」這一種拆法。
4. 4

   求出 b

   第一段用掉 $18$ 之後，第二段就是 $8$，也就是 $bc=8$。把 $c=2$ 代入：$2b=8$，得 $b=4$。
5. 5

   代回去驗算

   取 $a=9$、$b=4$、$c=2$、$d=0$，則 $(9x+4)(2x+0)=18x^2+8x$，係數依序是 $18$ 與 $8$，連起來正好是 $188$，完全吻合。所以這個四位數是 $9420$。
6. 6

   計算過程要留在卷面

   這是計算題，需寫出計算過程否則不予計分。卷面上至少要出現四段：一、代入 $a=9$、$d=0$ 展開成 $9cx^2+bcx$；二、說明常數項為 $0$、密碼只有兩段；三、由 $9c=18$ 解出 $c=2$，再由 $bc=8$ 解出 $b=4$；四、代回驗算得 $18x^2+8x$ 對應 $188$。最後寫出四位數 $9420$，只寫一個數字是拿不到分的。

關鍵觀念：#多項式乘法 #係數 #應用問題

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