113會考數學 第12題 詳解

二次函數・頂點判斷 · 單選 · 題目出處：113 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   先看這題在考什麼

   這題在考「二次函數的頂點式」。只要看到 $y=a(x-h)^2+k$，就要先抓兩件事：
   1. 頂點是 $(h,k)$。
   2. $a>0$ 代表開口向上，有最小值；$a<0$ 代表開口向下，有最大值。
   所以這題不是在亂算很多次，而是要直接看兩個函數的開口方向和頂點位置。
2. 2

   先處理甲：找頂點與極值

   甲是 $y=(x+20)^2+60$。
   先把它看成標準頂點式 $y=(x-(-20))^2+60$。
   所以甲的頂點是 $(-20,60)$。
   再看前面的係數 $a=1>0$，開口向上，所以甲有的是「最小值」，不是最大值。
   而最小值就是頂點的 $y$ 值，也就是 $60$，發生在 $x=-20$ 時。
3. 3

   再處理乙：找頂點與極值

   乙是 $y=-(x-30)^2+60$。
   這已經是標準頂點式了，所以頂點是 $(30,60)$。
   前面的係數 $a=-1<0$，開口向下，所以乙有的是「最大值」。
   而最大值就是頂點的 $y$ 值，也就是 $60$，發生在 $x=30$ 時。
4. 4

   逐一判斷選項

   (A)「甲有最大值，且其值為 $x=20$ 時的 $y$ 值」：錯。甲開口向上，沒有最大值；而且頂點在 $x=-20$，不是 $x=20$。
   
   (B)「甲有最小值，且其值為 $x=20$ 時的 $y$ 值」：錯。甲雖然有最小值，但發生在 $x=-20$，不是 $x=20$。
   
   (C)「乙有最大值，且其值為 $x=30$ 時的 $y$ 值」：對。乙開口向下，有最大值，且頂點就在 $x=30$。
   
   (D)「乙有最小值，且其值為 $x=30$ 時的 $y$ 值」：錯。乙開口向下，沒有最小值。
5. 5

   得到答案

   因為只有 (C) 的敘述完全正確，所以答案是 **(C)**。

關鍵觀念：#二次函數 #頂點式 #最大值最小值