113會考數學 第11題 詳解

分母有根號・有理化 · 單選 · 題目出處：113 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   看懂題目要什麼

   這題要把 $\dfrac{9}{4-\sqrt{7}}$ 化成 $a+b\sqrt{7}$ 的形式，也就是分母不能再有根號。因為題目說 $a$、$b$ 是整數，所以我們要先把分母的根號消掉，再整理成「整數 + 整數乘根號」的樣子。
2. 2

   利用共軛相乘

   分母是 $4-\sqrt{7}$，它的共軛是 $4+\sqrt{7}$。所以我們在分子、分母同時乘上 $4+\sqrt{7}$：$$\frac{9}{4-\sqrt{7}}\times\frac{4+\sqrt{7}}{4+\sqrt{7}}$$ 這樣分母就可以用平方差公式化簡。
3. 3

   先化分母，再算分子

   分母：$$(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=16-7=9$$ 分子：$$9(4+\sqrt{7})=36+9\sqrt{7}$$ 所以原式變成 $$\frac{36+9\sqrt{7}}{9}$$
4. 4

   整理成題目要的形式

   把分子每一項都除以 $9$：$$\frac{36+9\sqrt{7}}{9}=4+\sqrt{7}$$ 所以可寫成 $a+b\sqrt{7}$，其中 $a=4$、$b=1$。$$a+b=4+1=5$$
5. 5

   對照選項

   題目問的是 $a+b$ 的值，算出來是 $5$，所以選 $(A)$。

關鍵觀念：#分母有理化 #根式運算 #平方差公式