113會考數學 第11題 詳解

答案(A) 5看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   分母有理化

   這題考的是「根式的分母有理化」。分母是 $4-\sqrt{7}$，含有根號，處理的標準招式：分子、分母同乘它的「共軛」$4+\sqrt{7}$，利用平方差公式 $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ 讓分母的根號消失。
2. 2

   算新分母

   分母變成 $(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=4^2-(\sqrt{7})^2=16-7=9$。注意是 $4$ 的「平方」減 $7$，不是 $4-7$；把它算成 $4-7=-3$ 的話，最後會得到 $-12-3\sqrt{7}$，$a+b=-15$，剛好掉進 (D) 這個陷阱。
3. 3

   約分化簡

   所以 $\dfrac{9}{4-\sqrt{7}}=\dfrac{9(4+\sqrt{7})}{9}=4+\sqrt{7}$。分子的 $9$ 和分母的 $9$ 直接約掉，非常乾淨。
4. 4

   求 a 加 b

   對照 $a+b\sqrt{7}$ 的形式：$a=4$、$b=1$（$\sqrt{7}$ 前面沒寫係數就是 $1$），所以 $a+b=4+1=5$，答案選 (A)。

關鍵觀念：#分母有理化 #根式運算 #平方差公式