113會考數學 第15題 詳解

通分找分母 · 單選 · 題目出處：113 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

1. 1

   看懂題目在考什麼

   這題不是直接算出 $a$，而是要利用「通分後分子變成多少」來反推原來的分母 $a$。重點觀念是：分數通分時，分子和分母要同時乘上同一個倍數。
2. 2

   先把甲式子寫清楚

   甲原來是最簡分數 $\dfrac{10}{a}$。通分後，甲的分子變成 $50$，表示 $10$ 乘上某個整數倍後變成 $50$。
   $$10\times ?=50$$
   所以這個倍數是 $5$。也就是說，甲的分母 $a$ 也要乘上 $5$ 才會變成通分後的分母。
3. 3

   列出分母關係

   因為甲通分時分子乘了 $5$，所以分母也乘了 $5$。設通分後的公分母是 $L$，那麼
   $$L=5a$$
   同理，乙原來是 $\dfrac{18}{b}$，通分後分子變成 $54$，所以分子從 $18$ 變 $54$，也是乘上 $3$，因此
   $$L=3b$$
   所以我們得到
   $$5a=3b$$
4. 4

   利用最簡分數判斷 $a$ 的性質

   由 $5a=3b$ 可知，$5a$ 可以被 $3$ 整除。因為 $3$ 和 $5$ 沒有公因數，所以要讓 $5a$ 被 $3$ 整除，只能是 $a$ 本身要是 $3$ 的倍數。
   另外，題目說甲是最簡分數 $\dfrac{10}{a}$，表示分子 $10$ 和分母 $a$ 不能再約分。因為 $10=2\times 5$，如果 $a$ 是 $5$ 的倍數，那就會和 $10$ 有公因數 $5$，就不是最簡分數了。
   所以 $a$ 是 $3$ 的倍數，但不是 $5$ 的倍數。
5. 5

   逐一判斷選項

   (A) $a$ 是 $3$ 的倍數，也是 $5$ 的倍數：錯。若 $a$ 是 $5$ 的倍數，$\dfrac{10}{a}$ 就可再約分，不會是最簡分數。
   (B) $a$ 是 $3$ 的倍數，但不是 $5$ 的倍數：對，符合上面推論。
   (C) $a$ 是 $5$ 的倍數，但不是 $3$ 的倍數：錯，因為 $5a=3b$ 代表 $a$ 一定要有 $3$。
   (D) $a$ 不是 $3$ 的倍數，也不是 $5$ 的倍數：錯，因為 $a$ 必須是 $3$ 的倍數。
6. 6

   結論

   所以正確答案是 **(B)** $a$ 是 $3$ 的倍數，但不是 $5$ 的倍數。
7. 7

   全班最容易錯在哪

   很多人會只看「甲的分子變成 $50$」就直接猜 $a$ 跟 $5$ 有關，卻忘了「通分時分子和分母要一起乘同一個倍數」。另外也有人忽略「最簡分數」這個條件，誤以為 $a$ 可以是 $5$ 的倍數。

關鍵觀念：#最簡分數 #通分 #倍數與因數