113會考數學 第15題 詳解

答案(B) $a$ 是 3 的倍數，但不是 5 的倍數看逐步解析 ↓

逐步解析

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   看分子放大

   這題考的是「通分與最簡分數（互質）的觀念」。通分時分子、分母要乘同一個數。甲的分子從 $10$ 變成 $50$，是乘以 $5$，所以甲的分母變成 $5a$；乙的分子從 $18$ 變成 $54$，是乘以 $3$，所以乙的分母變成 $3b$。
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   分母相等

   通分後兩個分數的分母相同，所以 $5a=3b$。這條等式左邊是 $5a$，右邊是 $3$ 的倍數，代表 $5a$ 必須是 $3$ 的倍數；而 $5$ 和 $3$ 互質，$3$ 不可能藏在 $5$ 裡，所以 $3$ 一定整除 $a$——$a$ 是 $3$ 的倍數。
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   用最簡條件

   那 $a$ 是不是 $5$ 的倍數呢？關鍵在「甲是最簡分數」：$\dfrac{10}{a}$ 已約到最簡，表示 $a$ 與 $10$ 互質。$10=2\times 5$，所以 $a$ 不能有因數 $5$（也不能有因數 $2$）。看到「分子乘 $5$」就以為 $a$ 和 $5$ 有關而選 (A) 的同學，正是漏了這個最簡分數的條件。
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   舉例確認

   所以 $a$ 是 $3$ 的倍數、但不是 $5$ 的倍數，答案選 (B)。可以找實例驗證：取 $a=3$、$b=5$，甲 $=\dfrac{10}{3}$、乙 $=\dfrac{18}{5}$ 都是最簡分數，通分成分母 $15$ 後分別是 $\dfrac{50}{15}$、$\dfrac{54}{15}$，分子正好是 $50$ 和 $54$，完全符合題意。

關鍵觀念：#最簡分數 #通分 #倍數與因數