113會考數學 第19題 詳解

倒數定位・數線 · 單選 · 題目出處：113 年國中教育會考 數學科（國立臺灣師範大學心理與教育測驗研究發展中心）

逐步解析

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   題目在考什麼

   這題在考兩個觀念：第一，數線上「左邊」代表數值比較小；第二，兩點之間的距離要用絕對值來看。題目說 $P(p)$ 和 $Q(q)$ 互為倒數，所以一定有 $pq=1$。又因為 $P$ 在 $A(-2)$ 的左側，所以 $p<-2$，先從這個條件去推 $q$ 的位置。
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   先把條件翻成算式

   因為 $P$ 在 $A(-2)$ 的左側，所以 $p<-2$。又因為 $p$、$q$ 互為倒數，所以 $pq=1$，也就是 $q=\dfrac{1}{p}$。現在要利用 $p<-2$ 來判斷 $q$ 落在哪一段。
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   先判斷 $q$ 是正還是負

   因為 $p<-2$，所以 $p$ 一定是負數。負數的倒數還是負數，所以 $q=\dfrac{1}{p}$ 也是負數。既然 $q$ 是負數，而且 $p<-2$，那 $p$ 的絕對值大於 $2$，所以 $q$ 會介於 $-1$ 和 $0$ 之間，也就是 $-1<q<0$。因此 $Q$ 在 $\overline{AO}$ 上。
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   比較 $AQ$ 和 $OQ$

   因為 $A(-2)$、$Q(q)$、$O(0)$，而且 $-2<q<0$，所以在數線上順序是 $A$ 在最左邊，接著是 $Q$，最後是 $O$。因此
   $\overline{AQ}=q-(-2)=q+2$，
   $\overline{OQ}=0-q=-q$。
   要比較兩段長度，可以直接看誰大。由於 $-2<q<0$，所以把 $q$ 代入後可知 $q+2>-q$，也就是 $\overline{AQ}>\overline{OQ}$。
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   逐項判斷並收答案

   (A) $Q$ 在 $\overline{AO}$ 上，但說 $\overline{AQ}<\overline{OQ}$，錯，因為剛剛已知 $\overline{AQ}>\overline{OQ}$。
   
   (B) $Q$ 在 $\overline{AO}$ 上，且 $\overline{AQ}>\overline{OQ}$，對，這和推導結果一致。
   
   (C) $Q$ 在 $\overline{OB}$ 上，錯。因為 $q$ 是負數，不可能跑到 $0$ 和 $2$ 之間。
   
   (D) $Q$ 在 $\overline{OB}$ 上，且 $\overline{OQ}>\overline{QB}$，也錯。先不說大小，光是 $Q$ 不在 $\overline{OB}$ 上就錯了。
   
   所以正確答案是 $(B)$。

關鍵觀念：#數線 #倒數 #絕對值