113會考數學 第19題 詳解

答案(B) $Q$ 在 $\overline{AO}$ 上，且 $\overline{AQ}>\overline{OQ}$看逐步解析 ↓

逐步解析

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   倒數同正負

   這題考的是「數線、倒數與絕對值的大小感」。$p$、$q$ 互為倒數表示 $pq=1$。兩數相乘是正的，代表 $p$、$q$ 一定「同號」。已知 $P$ 在 $A(-2)$ 的左側，即 $p<-2$ 是負數，所以 $q$ 也是負數——$Q$ 一定落在原點 $O$ 的左邊，(C)、(D) 說 $Q$ 在 $\overline{OB}$ 上（正的那一側）可以直接淘汰。
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   定出 q 範圍

   $p<-2$，取倒數看看：$q=\dfrac{1}{p}$。用實際數字感受一下——$p=-4$ 時 $q=-\dfrac{1}{4}$；$p=-10$ 時 $q=-\dfrac{1}{10}$。絕對值大於 $2$ 的數，倒數的絕對值會小於 $\dfrac{1}{2}$，所以 $-\dfrac{1}{2}<q<0$。
3. 3

   Q 落在 AO

   $-\dfrac{1}{2}<q<0$ 當然介於 $-2$ 和 $0$ 之間，所以 $Q$ 在線段 $\overline{AO}$ 上，而且是貼近 $O$ 的那一小段。
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   比兩段長短

   以 $q=-\dfrac{1}{4}$ 為例：$\overline{OQ}=\dfrac{1}{4}$，$\overline{AQ}=-\dfrac{1}{4}-(-2)=\dfrac{7}{4}$，明顯 $\overline{AQ}>\overline{OQ}$。一般來說 $\overline{OQ}=|q|<\dfrac{1}{2}$，而 $\overline{AQ}=2-|q|>\dfrac{3}{2}$，一定是 $\overline{AQ}$ 比較長。答案選 (B)。忘記「負數的倒數還是負數」、把 $Q$ 放到正半軸的人，會因為 $|q|<\dfrac{1}{2}$ 而誤選 (C)。

關鍵觀念：#數線 #倒數 #絕對值