109學年鷺江國中第2次段考數學 第8題 詳解

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逐步解析

1. 1

   讀回十字交乘表

   十字交乘表的兩列各代表一個因式，所以 $-6x^2+ax+15=(-3x+c)(bx+3a)$。把右式展開，再和左式逐項比對係數，就能把 $a$、$b$、$c$ 找出來。
2. 2

   比對二次與常數項

   二次項：$(-3x)\times(bx)=-3bx^2$，要等於 $-6x^2$，所以 $-3b=-6$，得 $b=2$。常數項：$c\times3a=3ac$，要等於 15，所以 $ac=5$。
3. 3

   比對一次項

   一次項是交叉相乘再相加：$(-3x)\times3a+c\times bx=(-9a+2c)x$，要等於 $ax$，所以 $-9a+2c=a$，整理得 $2c=10a$，也就是 $c=5a$。
4. 4

   兩種情形都代入

   當 $a=1$：$c=5\times1=5$，且 $ac=1\times5=5$ 成立，而 $b=2$ 與 $a$ 無關，所以 (A)、(B) 兩個敘述都對。當 $a=-1$：$c=5\times(-1)=-5$，且 $ac=(-1)\times(-5)=5$ 也成立，所以 (C) 的敘述也對。
5. 5

   找出錯的敘述

   由上面可知 $a=-1$ 時 $c=-5$ 而不是 5，所以這個敘述是錯的。回頭驗算：$(-3x-5)(2x-3)=-6x^2+9x-10x+15=-6x^2-x+15$，確實對應 $a=-1$、$c=-5$。故選 (D)。

關鍵觀念：#十字交乘法 #因式分解

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