109學年鷺江國中第1次段考數學 第13題 詳解

答案(B)看逐步解析 ↓

逐步解析

1. 1

   先用條件消掉一個字母

   由 $2a+b=100$ 得 $b=100-2a$。把它代進去，兩個式子都只剩 $a$ 一個字母，就能用配方法找極值。
2. 2

   處理平方和

   $a^2+b^2=a^2+(100-2a)^2=a^2+4a^2-400a+10000=5a^2-400a+10000$。配方：$5(a^2-80a)+10000=5(a-40)^2-8000+10000=5(a-40)^2+2000$。
3. 3

   讀平方和的極值

   $5(a-40)^2\geq0$，所以 $a^2+b^2\geq2000$，當 $a=40$、$b=20$ 時等於 $2000$，這是最小值。而 $a$ 可以無限大，$a^2+b^2$ 也跟著無限大，沒有最大值。
4. 4

   處理乘積

   $ab=a(100-2a)=-2a^2+100a=-2(a^2-50a)=-2(a-25)^2+1250$。開口向下，最大值是 $1250$（$a=25$、$b=50$），也沒有最小值。
5. 5

   逐項檢查

   (A) 平方和沒有最大值，錯；(B) 平方和最小值是 $2000$，正確；(C) 乘積的最大值是 $1250$，不是 $5000$，錯；(D) 乘積沒有最小值，錯。故選 (B)。

關鍵觀念：#二次函數 #配方求極值 #代入消元

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