108學年鷺江國中第1次段考數學 第10題 詳解

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逐步解析

1. 1

   把兩點代進去

   圖形通過 $(0,5)$ 與 $(10,8)$，代入 $y=a(x-h)^2+k$ 得兩式：$a(0-h)^2+k=5$，即 $ah^2+k=5$；以及 $a(10-h)^2+k=8$。
2. 2

   相減消去k

   兩式相減：$a\left[(10-h)^2-h^2\right]=8-5=3$。把中括號展開：$(10-h)^2-h^2=100-20h+h^2-h^2=100-20h$。所以 $a(100-20h)=3$。
3. 3

   用a的正負定範圍

   等號右邊是正數 $3$，而已知 $a<0$，兩數相乘為正，另一個因式也必須是負數：$100-20h<0$，解得 $h>5$。
4. 4

   對照選項並檢驗

   配合 $0<h<10$，得 $5<h<10$。四個選項中只有 $7$ 落在這個範圍。檢驗 $h=7$：$a(100-140)=3$，即 $-40a=3$，$a=-\dfrac{3}{40}<0$，確實符合。（也可以這樣想：開口向下時離對稱軸越遠函數值越小，因為 $8>5$，$(10,8)$ 比 $(0,5)$ 更靠近對稱軸，所以 $h$ 偏向 $10$ 那一側。）故選 (D)。

關鍵觀念：#二次函數 #頂點式 #圖形通過兩點

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