114學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

答案$35$ 人或 $38$ 人看逐步解析 ↓

逐步解析

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   設出「多出來的人數」

   折扣是跟著「超過 $30$ 人的部分」走的，所以未知數要設在增加的人數上。設比預定人數多了 $x$ 人（$x$ 為正整數），則實際參加人數為 $(30+x)$ 人。每多 $1$ 人就每人少收 $100$ 元，多了 $x$ 人就每人少收 $100x$ 元，所以每人收費為 $(4300-100x)$ 元。
2. 2

   列出方程式

   總收入 $=$ 參加人數 $\times$ 每人收費，而總收入是 $133000$ 元，所以 $(30+x)(4300-100x)=133000$。這條式子把「人數變多」和「單價變少」兩件事同時放進去，是整題的骨架。
3. 3

   展開整理成一般式

   左邊展開：$30\times 4300=129000$，$30\times(-100x)=-3000x$，$x\times 4300=4300x$，$x\times(-100x)=-100x^2$，合起來是 $-100x^2+1300x+129000$。令它等於 $133000$，移項得 $-100x^2+1300x-4000=0$。兩邊同除以 $-100$（可以把數字變小又不改變解），得 $x^2-13x+40=0$。
4. 4

   因式分解求出 $x$

   $x^2-13x+40=0$ 要找兩數，乘積 $40$、相加 $13$，就是 $5$ 與 $8$，所以分解成 $(x-5)(x-8)=0$，解得 $x=5$ 或 $x=8$。兩個都是正整數，都還要回到題目情境檢查才能下結論。
5. 5

   兩個解都驗算並作答

   $x=5$：人數 $=30+5=35$ 人，每人收費 $=4300-100\times 5=3800$ 元，總收入 $=35\times 3800=133000$ 元，符合。$x=8$：人數 $=30+8=38$ 人，每人收費 $=4300-100\times 8=3500$ 元，總收入 $=38\times 3500=133000$ 元，也符合。兩種情形的人數都超過 $30$ 人、每人收費也都是正數，沒有任何一個違反題意，所以兩個都要保留，不能只寫一個。答：本次參加旅遊的人數可能為 $35$ 人或 $38$ 人。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #生活應用

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