111學年鷺江國中第3次段考數學 第20題 詳解

逐步解析

1. 1

   把圖上的長度標出來

   矩形 $ABCD$ 中，$A$ 在左上、$B$ 在左下、$C$ 在右下、$D$ 在右上。$\overline{AB}=1$ 是左邊那條鉛直的短邊，$\overline{AD}=x$ 是上面那條水平的長邊。以 $\overline{AB}$ 為邊畫出正方形 $ABFE$，$E$ 落在 $\overline{AD}$ 上、$F$ 落在 $\overline{BC}$ 上，正方形四邊等長，所以 $\overline{AE}=\overline{AB}=1$。
2. 2

   求出小矩形的兩邊

   切掉正方形之後剩下的是矩形 $CDEF$。它的一邊是 $\overline{DE}=\overline{AD}-\overline{AE}=x-1$；另一邊是 $\overline{CD}$，而 $\overline{CD}$ 是原矩形的右邊，長度和左邊 $\overline{AB}$ 一樣，所以 $\overline{CD}=1$。
3. 3

   照題目給的比例式列方程式

   題目已經把比例關係寫好了：$\overline{AB}:\overline{AD}=\overline{DE}:\overline{CD}$，也就是大矩形的「短邊比長邊」等於小矩形的「短邊比長邊」。代入四個長度：$1:x=(x-1):1$。
4. 4

   化成一元二次方程式

   比例式用「外項相乘等於內項相乘」：外項是 $1$ 與 $1$，內項是 $x$ 與 $x-1$，所以 $1\times1=x(x-1)$，即 $1=x^2-x$。移項整理成標準式：$x^2-x-1=0$。
5. 5

   用公式解取正根

   $a=1$、$b=-1$、$c=-1$。判別式 $(-1)^2-4\times1\times(-1)=1+4=5$。代入公式：$x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\times1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。因為 $x$ 是邊長必須是正數，而 $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx\dfrac{1-2.236}{2}\approx-0.618$ 是負的，捨去。
6. 6

   檢查並寫出答案

   取 $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx\dfrac{1+2.236}{2}\approx1.618$，確實比短邊 $1$ 長，符合「長方形」的設定；此時 $\overline{DE}=x-1\approx0.618$，比 $\overline{CD}=1$ 短，所以圖上的 $E$ 會落在 $\overline{AD}$ 靠近 $D$ 的那一側，和圖形相符。所以 $\overline{AD}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$，【⑩】填 $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$。

關鍵觀念：#一元二次方程式應用 #黃金矩形 #比例

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