111學年鷺江國中第1次段考數學 第4題 詳解

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逐步解析

1. 1

   先寫一般形式

   多項式的次數看的是「係數不為零的最高次項」。設 $A=a_2x^2+a_1x+a_0$，其中 $a_2$ 不等於 $0$；設 $B=b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0$，其中 $b_3$ 不等於 $0$。
2. 2

   2A 的次數不變

   $2A=2a_2x^2+2a_1x+2a_0$。乘上一個不為零的常數不會改變次數，所以 $2A$ 仍然是二次多項式，最高只到 $x^2$。
3. 3

   看三次項會不會消

   在 $2A-B$ 裡，$x^3$ 這一項只有 $B$ 有，$2A$ 根本沒有 $x^3$ 可以拿來抵消。相減後 $x^3$ 的係數是 $0-b_3=-b_3$，而 $b_3$ 不為 $0$，所以 $-b_3$ 也不為 $0$，三次項確實留下來了。
4. 4

   下結論

   最高次項是三次且係數不為零，所以 $2A-B$ 是三次多項式。舉個具體例子：取 $A=x^2$、$B=x^3+x^2$，則 $2A-B=2x^2-(x^3+x^2)=-x^3+x^2$，確實是三次。故選 (C)。

關鍵觀念：#多項式 #次數

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