111學年鷺江國中第2次段考數學 第2題 詳解

逐步解析

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   甲乙：最基本兩招

   (甲) 兩項都含 $x$，把 $x$ 提出來：$3x^2-5x=x(3x-5)$，第一格填 $x(3x-5)$。(乙) $4x^2-9=(2x)^2-3^2$，形狀是兩個平方相減，套平方差 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 得 $(2x+3)(2x-3)$，第二格填 $(2x+3)(2x-3)$。
2. 2

   丙：括號當公因式

   兩項都含有 $(2x-3)$，不要急著展開，把整個括號當公因式提出來：$(2x-3)(5x+1)-(2x-3)^2=(2x-3)\left[(5x+1)-(2x-3)\right]$。中括號裡要逐項變號：$5x+1-2x+3=3x+4$。所以結果是 $(2x-3)(3x+4)$，第三格填 $(2x-3)(3x+4)$。
3. 3

   丁戊：十字交乘

   (丁) $x^2-7x+12$：找兩數相乘得 $12$、相加得 $-7$，是 $-3$ 與 $-4$，所以 $x^2-7x+12=(x-4)(x-3)$，第四格填 $(x-4)(x-3)$。(戊) $6x^2-5x-6$：把 $6$ 拆成 $3\times 2$、$-6$ 拆成 $2\times(-3)$，交叉相乘 $3x\times(-3)+2x\times 2=-9x+4x=-5x$，正好是中間項，所以 $6x^2-5x-6=(3x+2)(2x-3)$，第五格填 $(3x+2)(2x-3)$。
4. 4

   己：完全平方

   $4x^2=(2x)^2$、$25=5^2$，頭尾都是完全平方，接著檢查中間項是不是兩倍積：$2\times 2x\times 5=20x$，剛好就是題目的 $+20x$。所以 $4x^2+20x+25=(2x+5)^2$，第六格填 $(2x+5)^2$。
5. 5

   庚：先提公因數

   兩項都有公因數 $2$，先提出來：$2(5x+1)^2-50=2\left[(5x+1)^2-25\right]$。中括號裡是 $(5x+1)^2-5^2$，用平方差得 $\left[(5x+1)+5\right]\left[(5x+1)-5\right]=(5x+6)(5x-4)$。合起來是 $2(5x+6)(5x-4)$，第七格填 $2(5x+6)(5x-4)$。
6. 6

   辛：先提負號

   最高次項是負的，先把 $-1$ 提出來：$-25x^2+110x-121=-\left(25x^2-110x+121\right)$。括號裡 $25x^2=(5x)^2$、$121=11^2$，中間項 $2\times 5x\times 11=110x$ 與式中的 $-110x$ 只差一個負號，正是 $(5x-11)^2$。所以原式 $=-(5x-11)^2$，第八格填 $-(5x-11)^2$。

關鍵觀念：#因式分解 #十字交乘法 #乘法公式

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